Solución analítica de problemas con discontinuidades que presentan ablandamiento

Abstract

En este trabajo de investigación, se presenta una formulación variacional que se fundamenta en el modelo de discontinuidades interiores y en las propiedades de la función delta de Dirac. Esto hace posible el tratamiento de la singularidad con los métodos analíticos convencionales del cálculo variacional y, en consecuencia, de solución de ecuaciones diferenciales. Con esta nueva formulación, se desarrollan soluciones analíticas de problemas de medios continuos constituidos por materiales cuasi-frágiles que exhiben una discontinuidad al superar un determinado valor umbral. En este trabajo se presentan las ecuaciones que gobiernan el problema de valores en la frontera del modelo de discontinuidades interiores. Se desarrolla una formulación variacional, en la cual se infiere que la integral de una cantidad física sobre una superficie embebida en un volumen se representa mediante una integral de volumen. Esta integral contiene la magnitud física y la función delta de Dirac, además queda bien condicionada cuando se representa en coordenadas esféricas. Esta formulación se logra a partir de la principal restricción de la función delta de Dirac y la generalización del problema unidimensional a un problema en ℝ³. Se muestra el desarrollo de soluciones analíticas de problemas con discontinuidades que presentan ablandamiento, a partir de la formulación variacional propuesta. Estas soluciones incluyen desde el típico problema de una barra sometida a carga de tensión, hasta la solución de problemas de vigas, considerando la teoría de viga de Timoshenko. Es importante mencionar que la formulación variacional propuesta también se verifica mediante la aproximación del método de los elementos finitos. Finalmente, se presentan ejemplos de aplicación que validan las soluciones analíticas desarrolladas, las cuales modelan el proceso de falla en elementos hasta su colapso. En su mayoría, éstas se verifican con ejemplos reportados en la literatura, los cuales han sido validados con pruebas experimentales o numéricas. En los ejemplos, se demuestra que el trabajo que inducen las cargas externas al medio continuo, es liberado o transformado en la energía necesaria para desarrollar una discontinuidad, de forma que se garantiza que las soluciones analíticas desarrolladas son válidas.

In this research work, a variational formulation is presented which is based on the embedded discontinuity model and the properties of the Dirac delta function. This makes possible the treatment of the singularity with analytical methods of calculus of variations and, consequently, of solution of differential equations. With this new formulation, analytical solutions are developed for continuous media problems consisting of quasi-fragile materials which exhibit a discontinuity when a certain threshold value is exceeded. In the development of this work, the equations that govern the boundary value problem of the embedded discontinuity model are presented. In the proposed variational formulation, it is inferred that the integral of a physical quantity on a surface embedded in a volume is represented by a volume integral, whose integrating contains the physical magnitude and the Dirac delta function. This integral is well conditioned when it is represented in a spherical coordinate system. This formulation is achieved from the main restriction of the Dirac delta function and the generalization of the one-dimensional problem to a problem in ℝ􀀍. Then, the development of analytical solutions of problems with discontinuities is presented, based on the proposed variational formulation. These solutions include since the typical problem of a bar subject to tension load, until the solution of beam problems, considering Timoshenko's beam theory. It is important to mention that the proposed variational formulation is also verified by approximating the finite element method. Finally, application examples validate the analytical solutions for modeling the process of element failure until its collapse. Most of them are validated with examples reported in the literature, which have been validated with experimental or numerical tests. In the examples, it is demonstrated that the work induced by the external loads to the continuous medium, is released or transformed into the energy necessary to develop a discontinuity, so the developed analytical solutions are valid.