DOI: 10.24275/uama.6738.9686
Sobre los fundamentos geométricos de la
propagación de la luz en medios
Doctorado en Ciencias e Ingenieŕıa de Materiales
22 de mayo de 2023
David Garćıa Peláez Cruz
Director de tesis:
Dr. César Simón López Monsalvo
Departamento de Ciencias Básicas, UAM-A
Co-Director de tesis:
Dr. Alberto Rubio Ponce
Departamento de Ciencias Básicas, UAM-A
  
 
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Agradecimientos
Agradezco a la UAM- Azcapotzalco y al posgrado en Ciencias e Ingenieŕıa por haberme dado
la oportunidad de realizar mi proyecto doctoral. Al área de F́ısica Atómica Molecular Aplicada
(FAMA) por todo el apoyo, los espacios y las herramientas de trabajo para poder desarrollar
este proyecto de manera satisfactoria. Quiero agradecer además al CONACYT por la beca
doctoral CVU 425313. Agradezco a mi familia y amigos por el apoyo. Sin ellos no estaŕıa
aqúı...
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Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
1. Contenido
1. Contenido 3
2. Introducción 4
3. Electromagnetismo 9
3.1. Nociones básicas de electromagnetismo con cálculo vectorial . . . . . . . . . . . 10
3.2. Nociones básicas de electromagnetismo en formas diferenciales . . . . . . . . . 12
3.3. Relaciones constitutivas geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4. Conductores y ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4. La métrica óptica y algunas aplicaciones 29
4.1. La permitividad y permeabilidad en términos del tensor constitutivo . . . . . . 29
4.2. La métrica optica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.1. Ejemplos de medios equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3. La geometŕıa de medios en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.1. Medio en rotación con transformación relativista . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.2. Medio óptico con geometŕıa no trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5. Geometŕıa de Contacto y Principio de Huygens 49
5.1. Ecuaciones diferenciales y geometŕıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2. Conceptos básicos de geometŕıa de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.1. Mecánica clásica con conceptos de geometŕıa de contacto . . . . . . . . 54
5.2.2. Flujos geodésicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.3. Elementos de contacto y transformaciones de contacto . . . . . . . . . . 57
5.3. El principio de Huygens y la propagación de frentes de ondas . . . . . . . . . . 60
5.3.1. Frentes de onda y subvariedades isotrópicas . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6. Propagación de la luz en medios ópticos 66
6.1. La variedad del medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2. Rayos, frentes de onda y el flujo de Reeb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3. Medio óptico en una geometŕıa Euclidiana de 2 dimensiones . . . . . . . . . . . 72
6.4. Medio óptico en una geometŕıa Euclidiana de 3 dimensiones . . . . . . . . . . . 73
6.5. Medio óptico en una geometŕıa hiperbólica de 2 dimensiones . . . . . . . . . . . 74
7. Superconductividad e invariantes topológicos 82
7.1. Helicidad y Campos de Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.2. Campos de Beltrami y superconductividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.3. Invariantes topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8. Conclusiones 90
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Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
9. Referencias 94
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Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
2. Introducción
La ciencia de los materiales ha dado pasos agigantados en el desarrollo de teoŕıa que permita
el diseño y creación de nuevos materiales, capaces de realizar funciones nunca antes vistas.
Este es el caso del área de los metamateriales, donde los arreglos geométricos de algunas
estructuras básicas prediseñadas determinan las propiedades f́ısicas del medio y no sus carac-
teŕısticas atómicos o moleculares. Esto permite que se puedan diseñar medios con propiedades
electromagnéticas “hechas a la medida” imposibles de encontrar de forma natural (qúımica)
y que incluso puedan ser activadas o desactivadas a voluntad.
El estudio y diseño de metamateriales han avanzado de manera promisoria, permitiendo avan-
ces significativos en el procesamiento de información óptica e información cuántica. Se ha
planteado la idea que estos metamateriales podŕıan reproducir efectos f́ısicos fundamenta-
les y poco entendidos como la superconductividad. En el campo del electromagnetismo, los
metamateriales han apuntado hacia nuevas respuestas eléctricas y magnéticas de medios, pa-
ra generar propiedades tales como las de los espejos magnéticos, la propagaciones de ondas
asimétricas, estructuras de invisibilidad para algunas frecuencias, y la generación de medios
quirales a voluntad, en donde se pueda controlar la polarización de la luz e incluso conseguir
ı́ndices de refracción negativos [1].
En años recientes, la óptica de transformaciones ha sido el formalismo responsable del diseño
de metamateriales ópticos, que “controlen” la propagación de la luz. Con este formalismo, ha
sido posible hacer los primeros experimentos de invisibilidad electromagnética para frecuen-
cias en las microondas [2,3]. La óptica de transformaciones se basa en dotar a las propiedades
electromagnéticas de los medios parámetros dependientes de las coordenadas. Aśı, las transfor-
maciones de coordenadas en el espacio representan propiedades electromagnéticas diferentes
bajo este formalismo [4], [5], [6], [7]. Dicha caracteŕıstica, no queda bien entendida bajo el
lente de la f́ısica y la geometŕıa, pues de manera intuitiva, las propiedades f́ısicas no debeŕıan
de dependen de las coordenadas elegidas. Aún cuando esta técnica ha sido utilizada de manera
satisfactoria, los fundamentos teórico-matemáticos no quedan del todo resueltos. Incluso, las
mismas transformaciones para generar los metamateriales deseados son propuestas y no dedu-
cidas de un formalismo elemental. A ráız de esta falta de fundamentos teórico y matemáticos,
es que surge la idea de este proyecto. Este trabajo pretende abordar los fundamentos geométri-
cos de la propagación de la luz en medios para entender la óptica de transformaciones y poder
generar una base sobre la cual, de manera canónica, se puedan diseñar nuevos materiales.
En las nociones básicas del electromagnetismo vectorial, podemos plantear uno de los pro-
blemas fundamentales de toda teoŕıa de campos: Si se conocen las fuentes que generan los
campos, encontrar dichos campos. En el caso del electromagnetismo, este problema se traduce
a encontrar los campos E~ y B~ a partir de conocer las fuentes que los generan ρ ~
ext y jext. Sin
embargo, podemos observar que en las ecuaciones de Maxwell, no hay una relación entre los
campos externos E~ y B~ y fuentes que los producen ~jext y ρext. En dichas ecuaciones, las fuentes
se encuentran únicamente relacionadas con los campos inducidos en los medios, en este caso
D~ y H~ . Por tanto, para resolver este problema es necesario introducir una serie de ecuaciones
extra que nos permita vincular los campos inducidos con los campos externos. Esas ecua-
ciones reciben el nombre de relaciones constitutivas. Dichas relaciones, modelan la respuesta
electromagnética que tiene un medio al estar en presencia de un campo electromagnético ex-
5
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
terno. Estas relaciones, están determinadas de manera general, por “convoluciones”, donde se
promedia el efecto del campo en todo el espacio y el tiempo.
El electromagnetismo puede ser escrito con un lenguaje más contemporáneo y compacto en
términos de formas diferenciales. Bajo este lenguaje, las relaciones constitutivas marcan, de
manera clara, una relación directa entre las propiedades electromagnéticas de un medio y
la geometŕıa de su espacio. Los campos externos E~ y B~ se escriben en términos de una 2-
forma diferencial conocida como la 2-forma de Faraday o la 2-forma de fuerza F . Por su
parte, los campos inducidos se escriben en términos de otra 2-forma llamada la 2-forma de
desplazamiento G. Las relaciones constitutivas relacionan la 2-forma F con la 2-forma G.
Estas relaciones, en su forma más simple, quedan determinadas por el operador diferencial de
Hodge. Éste, depende directamente de una métrica del espacio-tiempo. Es aqúı donde la rela-
ción electromagnetismo-geometŕıa se establece. En el caṕıtulo 3 de este trabajo, empezamos
abordando algunos conceptos elementales de la teoŕıa electromagnética en su forma vecto-
rial, para posteriormente abordar dichos conceptos en términos de formas diferenciales. Esto
pretende sentar bases sólidas de una formulación métrica del electromagnetismo. Mostramos
que el lenguaje geométrico nos permite encontrar de manera expĺıcita, las componentes de
los campos electromagnéticos inducidos en un medio dieléctrico, independientemente de las
coordenadas y del marco de referencia en el que se midan. Finalmente, podemos hacer una
generalización del formalismo para conductores. Escribimos la ley de Ohm de forma comple-
tamente geométrica para un observador dado y planteamos una 3-forma de densidad de flujo
de enerǵıa-momento, la cual nos permite escribir las versiones geométricas del teorema de
Poynting y la conservación de la enerǵıa. De estas versiones, mostramos que se puede recupe-
rar la estructura vectorial previamente conocida.
Desde mediados del siglo XX, se ha proclamado por la comunidad cient́ıfica, que el electro-
magnetismo es una de las teoŕıas f́ısicas mejor entendidas por la humanidad. Sin embargo,
esto es cierto únicamente en el vaćıo. Cuando se introducen medios materiales a la teoŕıa, la
complejidad de ésta escala rápidamente generando una amplia variedad de fenómenos poco
entendidos.
La teoŕıa de la Relatividad Especial surge desde el electromagnetismo como respuesta a las
preguntas sobre la simetŕıa e invariancia de las ecuaciones de Maxwell. Más adelante, con el
desarrollo de la Relatividad General, la geometŕıa diferencial comenzó a tener relevancia como
herramienta para su entendimiento. Con la consolidación tanto de la Relatividad como de la
geometŕıa diferencial, surgieron las primeras analoǵıas entre las interacciones de la materia
con campos gravitacionales y las del electromagnetismo con la materia. [8, 9].
En 1923, Gordon plantea que el espacio-tiempo puede considerarse un medio óptico, dado que
su métrica codifica la velocidad efectiva de la luz en él. En las coordenadas adecuadas, esta
métrica conocida como métrica óptica incluye esta velocidad de manera expĺıcita en la compo-
nente temporal [8]. Una vez más, queda de manifiesto que las propiedades electromagnéticas
de los medios quedan determinadas a partir de conceptos geométricos.
En los conceptos básicos de la óptica, el ı́ndice de refracción de un medio se encuentra de-
terminado a partir de ciertas caracteŕısticas electromagnéticas del medio, en particular la
permitividad eléctrica ε y la permeabilidad magnética µ. Sin embargo, para medios inho-
mogéneos y anisotrópicos no queda del todo claro cómo calcular su ı́ndice de refracción, aún
conociendo sus tensores de permitividad y permeabilidad. Es en estos casos, que la métrica
óptica toma relevancia, pues nos ofrece una forma geométrica de encontrar el ı́ndice de re-
fracción del medio a partir de la velocidad efectiva de la luz en él.
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Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Por otra parte, las relaciones constitutivas de un medio se pueden expresar a partir de un
tensor constitutivo de rango 4, que es justamente la expresión coordenada de la relación de
Hodge entre las 2-formas electromagnéticas. A partir de dicho tensor, existen algunas maneras
de encontrar de forma expĺıcita las componentes de los tensores de permitividad eléctrica,
permeabilidad magnética y los efectos magnetoeléctricos [8]. Esto abre la puerta para poder
introducir conceptos de geometŕıa métrica de contacto que sean relevantes en el entendimiento
de las relaciones constitutivas de los medios.
La geometŕıa de contacto se ha vuelto un marco matemático para unificar diferentes teoŕıas
de la f́ısica que han ido evolucionando en el tiempo. Tal es el caso de la termodinámica, la
mecánica clásica para sistemas no conservativos, teoŕıa de control, entre varios otros [10–16].
El caso del electromagnetismo no ha sido diferente y en particular la óptica ha tomado en
la geometŕıa de contacto una marco capaz de unificar sus dos principios fundamentales; el
principio de Fermat y el de Huygens. Si bien, ambos principios no son principios deducidos
directamente de la teoŕıa electromagnética, ha sido ampliamente revisado por distintos autores
que ha cierta aproximación, las formulaciones son equivalentes.
La propagación de la luz en un medio, se puede modelar de dos formas naturales. La primera,
haciendo una especie de śımil mecánico, donde la luz se propaga por trayectoria definidas
conocidas como rayos de luz. Este modelo se encuentra regido por el famoso principio de
Fermat, el cual establece que la luz sigue las trayectorias que minimizan el tiempo para ir de
un punto a otro. Dada una geometŕıa simple espacio-temporal, estas trayectorias coinciden
con las trayectorias que minimizan las distancias, conocidas como curvas geodésicas. Dichas
curvas han sido ampliamente estudiadas en el contexto de la geometŕıa y satisfacen una
ecuación diferencial de 2º orden, que depende de los coeficientes del concepto geométrico
llamado conexión. Esta ecuación depende únicamente de la geometŕıa y de las estructuras
geométricas con que se haya dotado al espacio. Por otra parte, la segunda forma de modelar la
propagación de la luz en un medio, es a través de frentes de ondas. Dado que la luz es una onda
electromagnética, ésta sigue el principio ondulatorio. Los frentes de onda son generados por
una fuente y éstos al evolucionar en el medio se vuelven nuevas fuentes para generar frentes
de ondas secundarios. Estas ondas secundarias pueden interferir con las ondas originales,
generando los patrones de dispersión y difracción vistos en diferentes experimentos. Existe un
frente de onda global, el cual está dado por la envolvente de todos los frentes secundarios al
tiempo t. Al principio que explica esta dinámica se le conoce como principio de Huygens.
Tanto el śımil mecánico de la propagación de la luz, como el principio ondulatorio, pueden ser
modelados usando geometŕıa de contacto. Es en este lenguaje, de manera natural, se puede
mostrar que el principio de Fermat es equivalente al principio de Huygens.
Un medio óptico se puede representar como una variedad Riemanniana, dado por el espacio
f́ısico B y una métrica g inmerso en un espacio-tiempo bi-métrico (M, g0, g̃). La métrica g0 es
considerada la métrica del “medio ambiente”, mientras que g̃ es la métrica óptica asociada.
De esta manera, se puede mostrar que la métrica del medio óptico g, es exclusivamente la
parte espacial de la métrica óptica. Del haz tangente del espacio f́ısico B que representa al
medio, es posible definir un par de espacios matemáticos fundamentales: El haz tangente
unitario STB y el espacio de elementos de contacto N . Este último se encuentra relacionado
con el espacio de estructura óptica definida por Perlick [17]. La estructura simpléctica natural
que se puede generar en el haz tangente de la variedad, nos permite darle una estructura
de contacto al haz tangente unitario de B. De la misma forma, el espacio de elementos de
contacto posee naturalmente una estructura de contacto tautológica. Este hecho, nos permite
relacionar de manera única los elementos del haz tangente unitario con los del espacio de
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Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
elementos de contacto a partir del campo vectorial de Reeb asociado a la 1-forma de contacto
de Liouville, definida en el haz cotangente unitario de la variedad. Podemos observar que
los flujos geodésicos que se generan en el haz tangente, son duales a los flujos del campo de
Reeb en el espacio de elementos de contacto. El campo vectorial de Reeb, se convierte aśı en
una especie de campo geodésico dual, que en particular resulta ser el generador infinitesimal
de una transformación estricta de contacto que preserva tanto la forma de contacto como la
distribución de la misma. Se puede deducir entonces, que el flujo geodésico que caracteriza las
trayectorias de un rayo de luz puede ser escrito en términos de una familia uniparamétrica de
transformaciones estrictas de contacto. Estas transformaciones, al preservar la distribución de
contacto, mantienen invariantes a los elementos de contacto sobre la variedad base, que son
hiperplanos de una dimensión menor, tangentes a los frentes de onda.
Cuando hablamos de propagación de luz en medios, otras dos propiedades de los medios
aparecen: La quiralidad y la helicidad. Conceptos de suma importancia en temas de pola-
rización y gúıas de ondas. Para estos fines, los campos de Beltrami han sido ampliamente
estudiados para describir estos fenómenos, tanto en el ámbito del electromagnetismo como
en la hidrodinámica principalmente [18,19]. Los campos vectoriales de Beltrami son aquellos
campos paralelos a su propio rotacional. Al ser paralelos a su propio rotacional, estos campos
reciben el nombre de campos libres de fuerzas dado que la fuerza de Lorentz, en el contexto
electromagnético, depende del producto exterior (cruz en R3) de la velocidad con el campo
magnético. Los flujos generados por este tipo de campos, en presencia de un campo magnético,
no experimentan fuerza de Lorentz. Este tipo de campos vectoriales tienen su contraparte en
formas diferenciales. Podemos definir de la misma manera, una forma diferencial (sobre una
variedad de dimensión 3) una 1-forma de Beltrami, como aquella que es proporcional a su
derivada exterior, en términos de una función no nula y el operador dual de Hodge. De esta
forma, la helicidad queda definida como la integral de la 1-forma de Beltrami.
Dada una variedad diferencial 3-dimensional con una estructura de contacto, tal que la 1-
forma de contacto sea una forma de Beltrami, genera una estructura geométrica que permite
la propagación de los campos libres de fuerzas. Al tener flujos electromagnéticos que no ex-
perimentan fuerzas de Lorentz, y por tanto no hay ningún tipo de fuerza que se “oponga” a
este flujo, haciendo que exista una conductividad perfecta. En 2 dimensiones espaciales, esto
se podŕıa entender como un superconductor 2- dimensional. La estructura geométrica, aunado
a esto, permite deducir las relaciones de London que modelan dicha conductividad, al no ser
válida la ley de Ohm en este contexto.
Esta tesis se encuentra estructurada de la siguiente manera. En el caṕıtulo 3 exponemos
las bases del electromagnetismo vectorial y su contraparte en formas diferenciales, haciendo
expĺıcita la conversión de un lenguaje a otro. Planteamos las relaciones constitutivas de forma
completamente geométrica, y desarrollamos la manera de encontrar las componentes de los
campos electromagnéticos inducidos independientes del observador y del marco en referencia.
Esta metodoloǵıa la extendemos a medios en movimiento y proponemos medios estáticos
equivalentes. Trabajamos con conductores y escribimos la versión geométrica de la ley de
Ohm. Definimos una 3-forma de densidad de flujo de enerǵıa-momento con la cual damos una
versión geométrica del teorema de Poynting.
En el caṕıtulo 4 mostramos una manera de encontrar los diferentes tensores de permitividad,
permeabilidad y las matrices magnetoeléctricas en términos de un tensor constitutivo. Expo-
nemos los fundamentos de la métrica óptica y la usamos para realizar diferentes ejemplos de
medios equivalentes a geometŕıas cosmológicas conocidas.
En el caṕıtulo 5 damos las bases matemáticas de la geometŕıa de contacto partiendo desde
8
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
la perspectiva de las ecuaciones diferenciales. Con este lenguaje geométrico escribimos la
evolución de la luz tanto en términos de rayos como en frentes de ondas. Finalmente en
el caṕıtulo, construimos el principio de Huygens usando los diferentes espacios matemáticos
previamente definidos y demostramos con geometŕıa, que la evolución de un frente de onda
es la envolvente de los frentes de ondas secundarios producidos.
En el caṕıtulo 6 ahondamos en las estructuras de los espacios matemáticos que subyacen en
las diferentes formas de evolucionar la luz en un medio. El haz tangente unitario para un
rayo de luz y el espacio de elementos de contacto para la visión ondulatoria. En el caṕıtulo
se muestra de manera expĺıcita la equivalencia geométrica de los principios de Fermat y de
Huygens y se encuentra que tanto el flujo geodésico como los frentes de onda, pueden ser
reconstruidos a partir de encontrar la familia uniparamétrica de transformación de contacto,
asociadas al flujo del campo vectorial de Reeb de la forma de contacto de Liouville. Este
formalismo, permite recrear tanto las trayectorias de los rayos de luz, sin la necesidad de
resolver la ecuación geodésica para la variedad (ecuación diferencial de 2º grado) y permite
a su vez reconstruir los frentes de onda, sin resolver de manera directa la ecuación de onda
(ecuación diferencial de 2º grado). Todo esto se logra encontrando un flujo vectorial que es
una ecuación diferencial de 1º orden. En el caṕıtulo, realizamos una serie de ejemplos, para
medios con geometŕıa trivial y no trivial y diferentes dimensiones.
En el caṕıtulo 7 definimos las formas diferenciales de Beltrami en analoǵıa a los campos vec-
toriales de Beltrami. Partimos de estos campos para definir la helicidad en el contexto de las
formas diferenciales, aśı como otros invariantes topológicos asociados. Usamos estos conceptos
para definir la geometŕıa de un superconductor en 2 dimensiones espaciales y deducimos las
ecuaciones de London en su forma geométrica.
Finalmente en el caṕıtulo 8 damos las conclusiones del trabajo, aśı como algunos otros tra-
bajos que se encuentran en elaboración y otros a futuro que se podŕıan desprender de esta
investigación.
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Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
3. Electromagnetismo
Desde los albores de la Relatividad General, se ha observado que la interacción entre la materia
y el electromagnetismo es un fenómeno equivalente a la interacción entre la materia y el campo
gravitacional [8,9]. De la misma manera que la luz obedece el Principio de Fermat para ir de
un punto a otro a través de un medio, en la Relatividad General los rayos de luz siguen la
trayectorias dadas por las geodésicas nulas de la geometŕıa del espacio-tiempo. Desde la década
de los 70’s, se ha argumentado que el espacio-tiempo actúa como un medio óptico con un
ı́ndice de refracción particular, con un tensor métrico capaz de codificar toda esta información
[20–23]. Este argumento, incita a tratar geométricamente los medios ópticos como variedades
diferenciales, donde la curvatura del espacio define la trayectoria que seguiŕıa un haz de luz
al propagarse por él. [24, 25]. Esta idea ha sido desarrollada y explotada recientemente en el
campo de la ciencia e ingenieŕıa de materiales [1,26–30] dado las diferentes posibilidades que
ofrece para modelar metamateriales ópticos que pudieran tener propiedades f́ısicas diferentes
a las encontradas en la naturaleza.
En el último siglo, la formulación de teoŕıas de campo en términos de geometŕıa diferencial, ha
sido ampliamente desarrolla. Sin embargo, la mayor parte de este avance ha sido concentrado
en áreas puramente teóricas [31,32] y ha sido, hasta fechas recientes que esta herramienta se ha
vuelto importante en áreas de aplicación [33–36]. Un ejemplo claro es la ciencia de materiales,
en donde toda la información concerniente a las respuestas macroscópicas de un medio a
partir de un est́ımulo electromagnético han sido descritas a partir de un tensor constitutivo,
el cuál está estrechamente relacionado con un tensor métrico (o uno de curvatura), dado por
la geometŕıa del espacio [8, 25].
Las propiedades eletromagnéticas de un medio, definidas por las respuestas macroscópicas del
medio a dichos est́ımulos, están caracterizadas por las llamadas relaciones constitutivas. Estas
relaciones se definen a partir de propiedades del medio conocidas como permitividad eléctri-
ca, permeabilidad magnética y efectos magnetoélectricos, modeladas en términos de matrices
(tensores), usualmente interpretadas en términos de un marco de referencia y un conjunto
(generalmente único) de coordenadas, dado por el formalismo vectorial del electromagnetis-
mo.
En este trabajo, se pretende llevar de una manera expĺıcita y pedagógica el formalismo vecto-
rial usual del electromagnetismo, a uno independiente del marco de referencia y coordenadas,
por medio del lenguaje de las formas diferenciales que ofrece la geometŕıa. En este caṕıtulo,
se irá construyendo dicho lenguaje a partir del hecho que las leyes de Maxwell se pueden
ver como ecuaciones de conservación del espacio-tiempo y que las relaciones constitutivas son
mapeos entre los diferentes elementos de estas ecuaciones de conservación.
En este caṕıtulo, comenzaremos por hacer un acercamiento pedagógico entre el electromag-
netismo escrito en el formalismo del cálculo vectorial, para posteriormente ir desarrollando
el lenguaje de las formas diferenciales. Los detalles de esta construcción, generalmente son
omitidos en la literatura especializada y por tanto poco entendidos. Comenzaremos por la
formulación integral tradicional de las ecuaciones de Maxwell en R3, para luego generalizar en
términos de formas diferenciales para una variedadM. En esta variedad, se puede hacer toda
la construcción de las leyes de Maxwell sin la necesidad de dotarla de estructura matemática
extŕınseca, tal como un tensor métrico.
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Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
A lo largo del trabajo, denotaremos como campos externos a E~ y B~ dado que supondremos
que éstos se encuentran ”presentes“ en todo el espacio. Llamaremos campos inducidos a los
campos D~ y H~ a partir de pensar que está directamente relacionados con las fuentes (ρext y
~jext). En este sentido, se puede observar, a partir de las leyes de Maxwell, que no existe una
relación natural o directa entre los campos electromagnéticos externos y las fuentes. Esto hace
inconsistente el problema elemental de cualquier teoŕıa de campo, esto es, poder determinar
los campos a partir de conocer la información de las fuentes. Por tanto, es imperativo definir
una serie de relaciones entre los campos externos y las fuentes. Dichas relaciones son conocidas
como relaciones constitutivas. Las relaciones constitutivas pueden ser propuestas de múltiples
maneras, siendo particularmente conveniente definirlas a través de la estructura geométrica
del espacio. En este caso, se puede postular que dicha estructura geométrica contenga toda
la información relevante de la respuesta electromagnética macroscópica del medio, en el cual
se propagan los campos [24]. Diferentes medios serán descritos por diferentes geometŕıas y las
relaciones constitutivas pueden ser expresadas en términos del operador dual de Hodge. Este
operador está asociado a una métrica del espacio, y por tanto, la postulación de las relaciones
constitutivas implica dotar a la variedad M con una mayor estructura matemática.
A lo largo de del trabajo consideraremos una métrica para el medio ambiente (fondo) y otra
para describir al medio. Esta forma de geometrizar las relaciones constitutivas, es probable
que no es la más general, pero śı la más simple; y como resultado, podemos encontrar ex-
presiones generales libres de coordenadas y marcos de referencia. Una de las ventajas de este
formalismo, el cual se abordará expĺıcitamente al final del caṕıtulo, es que permite encontrar
las componentes expĺıcitas de los campos inducidos medidos por observadores arbitrarios.
3.1. Nociones básicas de electromagnetismo con cálculo vec-
torial
El carácter emṕırico del electromagnetismo radica en el hecho que en la naturaleza los objetos
poseen ciertas propiedades que pueden ser percibidas a través de su estado de movimiento
o su interacción. Dicha propiedad se conoce como carga eléctrica y se puede observar que
de manera natural se conserva. Acorde con esta idea, se puede inferir la existencia de un
campo responsable del cambio inercial de dichas cargas eléctricas y en consecuencia a este
movimiento, se generan nuevas configuraciones del campo. Este campo, cumple con sus propias
leyes de conservación, las cuales llevan a una teoŕıa dinámica de campos y cargas. Esta se
describe a partir de una s∮erie de relaciones observables entre dichos campos y sus fuentes
∮ B~ · n̂ ds = 0, ∫ (3.1)
∂Ω
∮ E~ · d
d~̀= − B~ · n̂ ds, (3.2)
∂Σ d∫t Σ
∮ D~ · n̂ ds = ∫ ρextdv ∫ (3.3)
∂Ω Ω
H~ · ~̀ d
d = D~ · n̂ ds+ ~jext · n̂ ds. (3.4)
∂Σ dt Σ Σ
Los términos ρ ~
ext y jext son las densidades de carga y corriente eléctrica externa respecti-
vamente y representan las fuentes de los campos. Observemos que los campos inducidos son
aquellos que se encuentran relacionados con las fuentes, mientras que las expresiones para los
campos fundamentales son independientes. El śımbolo ∂ representa el operador de frontera.
11
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
En este caso, el operador actúa en R3, por lo que ∂Ω es la frontera 2-dimensional de la región
Ω ∈ R3, mientras que ∂Σ es la curva frontera 1-dimensional de la superficie abierta Σ ⊂ R2.
Las expresiones (3.1)-(3.4) representan propiedades globales en el espacio, en este caso R3.
De la representación global, podemos pasar, por medio de los teoremas de cálculo integral, a
expresiones locales dadas por las ecuaciones de Maxwell. Estas expresiones locales, se pueden
separar fácilmente en un par de ecuaciones homogéneas
∇ ·B~ = 0, (3.5)
∇× ∂
E~ + B~ = 0, (3.6)
∂t
y un par de ecuaciones inhomogéneas
∇ ·D~ = ρext (3.7)
∇× ~ − ∂
H D~ = ~jext. (3.8)
∂t
Si aplicamos la divergencia y sustituimos (3.7) en (3.8), podemos obtener de forma natural
una ecuación de continuidad para las fuentes
∂
ρext +∇ ·~jext = 0. (3.9)
∂t
Observamos que esta ley de conservación hace referencia únicamente a las cargas y corrientes
externas. Además de estas fuentes externas, cada medio se caracteriza por una función de
respuesta a la presencia de los campos externos. Estas respuestas generan cargas y corrientes
inducidas dentro del material. Por tanto, asumiendo que las cargas y corrientes se conservan
de manera total, tanto cargas y corrientes externas como las inducidas se deberán conservar
de manera independiente. Esto nos lleva a decir que no existe intercambio entre las fuentes
externas y las inducidas en el medio. Postulando las ecuaciones de Maxwell (3.7)-(3.8) tenemos
que
∂
ρ+∇ ·~j = 0, (3.10)
∂t
lo que implica la conservación de las fuentes inducidas
∂
ρind +∇ ·~jind = 0. (3.11)
∂t
donde
ρ = ρ ~ ~ ~
ext + ρind and j = jext + jind. (3.12)
En prácticamente todas las teoŕıas de campo, existe un problema fundamental, que consiste
en determinar los campos a partir de conocer la información de las fuentes. Esto parte de
tener cierta información a priori de los campos en ciertas regiones del espacio-tiempo. En el
caso particular del electromagnetismo, buscamos encontrar los campos eléctrico E~ y el campo
de flujo magnético B~ , a partir de conocer las funciones en el espacio-tiempo de ρext y ~jext,
junto con el conjunto de condiciones iniciales y de frontera de los campos. Planteando el
problema de esta manera, las ecuaciones de Maxwell no son suficientes, pues dichos campos se
encuentran únicamente las ecuaciones homogéneas (3.5) y (3.7), y no se relacionan de ninguna
manera con las fuentes, que se encuentran en las ecuaciones inhomogéneas (3.7) y(3.8). Por
tanto, es necesario proponer una serie de ecuaciones “extra”, conocidas como las relaciones
constitutivas del medio.
12
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Las relaciones constitutivas contienen la información sobre la respuesta del medio ante los
est́ımulos producidos por los campos externos. De manera general, estas relaciones son expre-
sadas en términos de convoluciones, promediando el efecto del campo sobre todo el espacio
y el tiempo. Para el escenario más simple, estas relaciones se pueden describir por medio de
una transformación lineal ( ) ( )( )
D~ ε̄ ζ̄ E~
H~
= , (3.13)
χ̄ µ̄−1 B~
donde ε̄ y µ̄−1 son la permitividad eléctrica y el inverso de la permeabilidad magnética res-
pectivamente, las cuales son matrices 3× 3. Además, ζ̄ y χ̄ son conocidas como las matrices
de efecto magnetoeléctrico. [27, 37].
3.2. Nociones básicas de electromagnetismo en formas dife-
renciales
Históricamente y de manera tradicional, el electromagnetismo se ha desarrollado en el len-
guaje del cálculo vectorial. Sin embargo, éste se puede escribir de una forma mas compacta
en términos de geometŕıa diferencial. Para ello, usamos el poderoso lenguaje de las formas
diferenciales para escribir las ecuaciones de Maxwell de una forma mucho más compacta. Para
lograr este cometido, empezaremos definiendo algunos concepto geométricos básicos. Primero,
definiremos un flujo Φ como ∮
Φ[Σ, F ] ≡ ΦΣ(F ) = F ∈ R (3.14)
Σ
para Σ una superficie cerrada y F una 2-forma di∮ferencial. Definiremos también una circu-
lación ε como
ε[γ, α] ≡ εγ(α) = α ∈ R , (3.15)
γ
donde γ es una curva cerrada y α una 1-forma diferencial. En este lenguaje compacto, enun-
ciaremos el teorema de Stokes.
[Teorema de Stokes]. Sea F una n-form∫a diferen∫cial y Ω una superficie con dimensión n + 1;
entonces
F = dF (3.16)
∂Ω Ω
para d el operador “derivada exterior” 1 y ∂Ω la frontera de Ω. Podemos observar entonces,
que el campo de desplazamiento eléctrico D en el electromagnetismo, corresponde a un flujo.
Usando (3.14) tenemos: ∮
ΦΣ(D) = D = Q , [Ley de Gauss] (3.17)
Σ
1La derivada exterior la definimos sobre una p-forma α dond(e dα e)s una p+ 1-forma dada por
∂a
d[a(x) dxi ∧ ... ∧ dxk] = da ∧ dxi ∧ ... ∧ dxk = dxr ∧ dxi ∧ ... ∧ dxk
∂xr
13
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
donde Q se interpreta como la carga total encerrada en la superficie Σ. Si usamos el teorema
de Stokes, observamos que ∮ ∫ ∫
D = dD = ρ (3.18)
∫Σ V V
⇒ (dD − ρ) = 0 (3.19)
V
para Σ la frontera de un volumen V (i.e. Σ = ∂V ) y ρ la densidad de carga. De esta forma,
obtenemos que
dD = ρ, (3.20)
que es la expresión local de la ley de Gauss. En este contexto, ρ es una 3-forma (i.e. ρ ∈ Ω3).
Con la misma idea, el campo magnético B también corresponde a un flujo, pero a través de
una superficie. Por ley de Gauss para el campo magnético, sabemos que el flujo del campo a
través de una superficie cerrada es siempre cer∫o. Esto es
ΦΣ(B) = B = 0 . (3.21)
Σ
Aplicando el Teorema de Stokes a (3.∫21) obse∫rvamos que
B = dB = 0 (3.22)
Σ V
para Σ = ∂V , donde V es un volumen arbitrario. Por consiguiente, podemos decir que
dB = 0 . (3.23)
Esta ecuación se conoce como la ley de Gauss magnética. Si el flujo magnético, se hace
variar sobre la superficie en el tiempo, obtenemos un trab∫ajo ε, dado por
d d
εγ(E) = − ΦΣ(B) = − B (3.24)
dt dt Σ
Usando una vez mas el teorema de Stokes en la circulación del campo eléctrico, tenemos que
∫ ∫
εγ(E) = E = dE (3.25)
γ Σ
para γ la frontera de la supe∫rficie Σ. Ento∫nces
d
∫ dE = − B [Ley de Faraday] (3.26)
Σ dt Σ
⇒ d
(dE + B) = 0. (3.27)
Σ dt
Por tanto, podemos observar que la expresión local para la ley de Faraday se puede escribir
como
∂
dE + B = 0 . (3.28)
∂t
14
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Por último, la ley de Maxwell-Ampere indica que la corriente eléctrica genera circulación del
campo magnético, esto es
∫ d
εγ(H) =∫ ΦΣ(D) +∫ ΦΣ(j) (3.29)
dt
⇒ d
H = J + D [Ley de Ampere] (3.30)
γ Σ dt Σ
donde ΦΣ(j) representa el flujo de corriente libre y d
dtΦΣ(D) representa la corriente de des-
plazamiento. Si aplicamos nuevamente la ley de Stokes a la circulación del campo magnético,
podemos obtener ∫ ∫
H = dH , (3.31)
γ Σ
de donde ∫ ∫ ∫
∫ d(H = J d
+ ) D (3.32)
Σ Σ dt Σ
⇒ dH − J − d
D = 0. (3.33)
Σ dt
Esto nos permite concluir que la expresión local para la ley de Ampere queda como
∂
dH − D = J . (3.34)
∂t
En resumen, tenemos las ecuaciones de Maxwell, en términos de formas diferenciales [38], que
se escriben como
∂
dB = 0 , dE + B = 0
∂t
∂
dD = ρ , dH − D = J . (3.35)
∂t
Hasta el momento, hemos escrito las ecuaciones de Maxwell considerando el tiempo como un
parámetro y por ende, hemos supuesto un variedad puramente espacial de 3 dimensiones.
Podemos observar, que de manera fenomenológica, las ecuaciones de Maxwell son postulados
de conservación de ciertas cantidades. Estas leyes, de manera general se entienden en términos
de integrales. Si consideramos flujos cruzando por las fronteras de ciertas regiones, podemos
imponer dichas condiciones de conservación. El teorema de Stokes nos permite observar la
arbitrariedad de las regiones de interés y hace que la conservación del flujo sea equivalente a
pedir una correspondencia co∮n una fo∫rma diferencial cerrada
!
0 = J = dJ ∀Ω ⊂M =⇒ dJ = 0. (3.36)
∂Ω Ω
En este caso J es una p-forma (con 0 < p < dimM) representando un p-flujo, Ω es una
región p + 1 dimensional de M con frontera p-dimensional ∂Ω. Por ejemplo, una superficie
2-dimensional que tiene por frontera una curva cerrada, un volumen 3-dimensional donde su
frontera es una superficie cerrada o finalmente, una región 4-dimensional con un volumen
!
cerrado como frontera. En (3.36), el śımbolo = expresa la imposición emṕırica de dicha igual-
dad. Las ecuaciones de Max∮well pueden ser postuladas como leyes de conservación alrededor
de una 2-forma F :
!
F = 0 ∀Ω3 ⊂M =⇒ !
dF = 0, (3.37)
∂Ω3
15
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
y una n− 1-forma j ∮
! !
j = 0 ∀Ωn ⊂M =⇒ dj = 0. (3.38)
∂Ωn
Estas afirmaciones como postulados emṕıricos son completamente generales; es decir, están
planteadas libres de coordenadas, independientes del observador y no requieren mayor estruc-
tura matemática que la diferenciabilidad deM. Ecuación (3.37), postula la conservación total
del flujo electromagnético, mientras que (3.38) postula la conservación total de la carga. De
esta manera, las ecuaciones de Maxwell (3.5) – (3.8) se pueden escribir en términos de formas
diferenciales en una variedad M 4-dimensional
dF = 0, (3.39)
y
dG− jext = 0. (3.40)
Al igual que en el caso vectorial, tenemos una ecuación homogénea y otra que relacionada con
las fuentes. En este caso, F y G son 2-formas que representan a los campos (E~ ,B~ ) y (D~ ,H~ )
respectivamente. La 3-forma jext representa a las fuentes externas (ρ ~
ext, jext) y corresponde a
la parte de la densidad de corriente total que no es inducida por los campos en el medio
jext = j − jind. (3.41)
Igual que las ecuaciones (3.5) – (3.8), las ecuaciones (3.39) y (3.40) son independientes de
coordenadas, por lo que son válidas a pesar de la elección local de coordenadas para M.
Para observar que (3.39) y (3.40) son realmente las ecuaciones de Maxwell que se hemos
escrito anteriormente en el lenguaje del cálculo vectorial, podemos dotar aM de coordenadas
cartesianas (x1, x2, x3, x4) = (x, y, z, t). Si tomamos
F = B + E ∧ dt, (3.42)
G = −D +H ∧ dt (3.43)
y
− (3)
jext = ρext + jext ∧ dt. (3.44)
Los campos E y H corresponden a 1-formas cuyas componentes son iguales a sus contrapartes
vectoriales. Es decir ∑3
E = E i
idx = Exdx+ Eydy + Ezdz (3.45)
i=1
y ∑3
H = Hidx
i = Hxdx+Hydy +Hzdz. (3.46)
i=1
(3)
Mientras los flujos B, D y jext corresponden a 2-formas dadas por
∑3
B = B i j
ijdx ∧ dx , (3.47)
i,j=1
i=6 j
∑3
D = D dxi ∧ dxjij , (3.48)
i,j=1
i=6 j
16
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
y ∑3
(3)
j i
ext = jijdx ∧ dxj , (3.49)
i,j=1
i=6 j
donde Bij (resp. Dij y jij) representa el flujo magnético (resp. eléctrico y densidad de co-
rriente externa) atravesando un elemento infinitesimal de área orientado dxi ∧dxj [38], i.e. la
componente de B~ ∈ R3 (resp. D~ y ~jext) es ortogonal al espacio generado por ê(i) y ê(j), esto
es
B = B~ij · ê(k) = Bk con ê(i) · ê(j) = ê(i) · ê(k) = ê(j) · ê(k) = 0 (3.50)
(resp. D ~
ij = D · k̂ = Dk y jij = ~jext · k̂ = jextk). Finalmente, ρext corresponde a una 3-forma
de densidad de carga externa.
ρext = ρext dx ∧ dy ∧ dz. (3.51)
Estamos usando el producto externo cartesiano, simplemente para ilustrar cómo se relacionan
las componentes de los campos vectoriales en R3 con sus correspondientes formas diferenciales.
Sin embargo, esto no es una estructura adicional sobre la variedad M.
Podemos realizar, de manera directa el cálculo algebraico de la derivada exterior de (3.42)
para obtener expĺıcitamente l∑a 3-forma dF
3
∂Bij
dF = dxk ∧ dxi ∧ dxj +
∂xk
i∑,j,k=
3 (1 )
∂Ej − ∂Ei ∂Bij
+ dxi ∧ dxj ∧ dt. (3.52)
∂xi ∂xj ∂t
i,j=1
i=6 j
A partir de las definiciones de Bij y el operador rotacional, junto con la ecuación (3.50),
podemos encontrar las compo(nentes)expĺıcitas
dF =[(∇ ·B~ dx ∧ dy)∧ dz +]
∂B~~
[(∇× E + ) · ê(z)]dx ∧ dy ∧ dt−
∂t
~ ∂B~
[(∇× E + ) · ê(y)] dx ∧ dz ∧ dt+
∂t
∇× ~ ∂B~
E + · ê
∂t (x) dy ∧ dz ∧ dt. (3.53)
Por tanto, dF = 0 [ecuación (3.40)] es completamente equivalente al par de ecuaciones ho-
mogéneas de Maxwell. De manera similar, las componentes de la 3-forma dG corresponden al
lado izquierdo de las ecuaciones∑in-homogéneas de Maxwell (3.7) y (3.8). Esto es
3
∂Dij
dG =− dxk ∧ dxi ∧ dxj +
∂xk
∑i,j(,k=1
3 )
∂Hj − ∂Hi − ∂Dij
dxi ∧ dxj ∧ dt, (3.54)
∂xi ∂xj ∂t
i,j=1
i6=j
17
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
en donde el signo está dado por la definición de G de la ecuación (3.43). Restando la 3-forma
jext, de dG obtenemos ( )
dG− jext =[−( ∇ ·D~ − ρext dx ∧)dy ∧ d]z +
∂D~~
[(∇×H − − jext · ê
∂t ) (z)]dx ∧ dy ∧ dt−
∇× ~ − ∂D~
[( H − jext) · ê(y)] dx ∧ dz ∧ dt+
∂t
∂D~∇×H~ − − jext · ê(x) dy ∧ dz ∧ dt, (3.55)
∂t
de donde la ecuación (3.40) nos lleva a las ecuaciones inhomogéneas de Maxwell (3.7) y (3.8).
La derivada exterior es un operador nilpotente, lo que significa que segundas o más derivadas
de este tipo se anulan. Por este motivo, la ley de conservación (3.9) es una consecuencia
inmediata de la estructura de las ecua(ciones de Maxwe)ll
0 = d2 ∂ρext
G = djext = +∇ ·~jext dx ∧ dy ∧ dz ∧ dt. (3.56)
∂t
Todo parece indicar, que el lenguaje de formas diferenciales aplica perfectamente para el
electromagnetismo. Las ecuaciones (3.39) y (3.40), no son simples abreviaciones de sus con-
trapartes vectoriales como podŕıa parecer en un principio, sino una generalización profunda
de éstas que nos permite relacionar la naturaleza local de las ecuaciones diferenciales con
los aspectos globales de los espacios en donde están definidos. Esta última idea, es la que ha
promovido el uso de esta poderosa herramienta en el electromagnetismo computacional; parti-
cularmente en la aplicación de elemento finito para resolver problemas en espacios topológicos
particularmente complicados. [39–41].
Desde el punto de vista más fundamental, podŕıamos revertir el argumento de la conservación
total de la carga, y postularlo directamente como un hecho emṕırico. Esto haŕıa que los
postulados fundamentales se convirtieran en dos principios locales de conservación, tanto del
flujo como de la carga
dF = 0 y dj = 0. (3.57)
Esto implica, que de manera local en M, existen dos potenciales A (1-forma) y H (2-forma),
tales que
F = dA y j = dH, (3.58)
donde H = G+Gind, con
dG = jext y dGind = jind. (3.59)
Esto implica la conservación independiente de las cargas inducidas y externas. Esto hace que
el problema fundamental de la teoŕıa de campos en el electromagnetismo se pueda plantear
de la siguiente manera: Dada una 3-forma cerrada jext, determinar la 2-forma cerrada F . O
de manera equivalente en términos de los potenciales, determinar la 1-forma A. Al igual que
en la propuesta pasada, este problema requiere información adicional para ser resuelto. Se
necesita proponer una relación entre la densidad de flujo j y la 1-forma del potencial A. Más
conveniente aún, se puede proponer una relación entre la 2-forma G y la 2-forma de flujo de
campo F . Estas relaciones son justamente las relaciones constitutivas del medio.
18
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
3.3. Relaciones constitutivas geométricas
Como hemos mencionado anteriormente, las leyes de Maxwell vistas como leyes de conser-
vación del flujo y de la carga únicamente requieren que el espacio matemático M sea dife-
renciable. Lo que quiere decir que estamos caracterizando puramente propiedades topológicas
del espacio. Sin embargo, esta estructura matemática elemental, no nos permite relacionar la
2-forma de flujo F con las fuentes generadoras de los campos jext. Las relaciones constitutivas
del medio, son justamente la información faltante y serán introducida en este formalismo, a
partir de dotar a M con una estructura geométrica. Dicha estructura será un tensor métrico
del tipo ∑n
g = g i
ijdx ⊗ dxj (3.60)
i,j=1
para que (M, g) sea una variedad (pseudo) Riemanniana2.
El tensor métrico nos permite, tal como lo hace el producto punto, calcular longitudes de
curvas parametrizadas, ángulos entre diferentes direcciones en un punto y distancias entre
diferentes puntos de la variedad M. Todo esto, independiente de las coordenadas elegidas.
Es decir, estas nociones son invariantes bajo cambio de coordenadas. Aunado a todo esto, la
métrica nos permite también establecer una equivalencia algebraica entre vectores y 1-formas.
Esta equivalencia se da a partir de los isomorfismos musicales3
∑n ∑n
g[(V ) = g V idxj para cualquier V = V i ∂
ij , (3.61)
∂xi
i,j=1 i=1
y ∑n ∑n∂
g](ω) = gijωi para cualquier ω = ω i
idx . (3.62)
∂xj
i,j=1 i=1
En el caso particular de una variedad Riemanniana, un mapeo es el inverso del otro
[ ] ∑n
g] [ ik j ∂
g (V ) = g gkjV
∑ ∂xi
i,j,k=1
n
∂
= δijV
j
i
∑ ∂x
i,j=1
n
∂
= V i
∂xi
i=1
= V, (3.63)
y por tanto, la métrica nos da un isomorfismo canónico entre vectores y formas diferenciales.
Un tensor métrico describe una geometŕıa particular en una variedad y cada variedad admite
una infinidad de tensores métricos. Una consecuencia de elegir una geometŕıa particular para
2Una variedad Pseudo-Riemanniana (M, g) es aquella en el que el tensor métrico g acepta vectores nulos
diferentes al vector idénticamente cero. En este tipo de variedades, el operador Laplaciano se convierte en un
operador hiperbólico y no eĺıptico como en el caso de las variedades Riemannianas. Esto nos permite tener una
estructura geometrica adecuada para describir la propagación de ondas.
3El śımbolo flat [ denota ‘bajar’ los ı́ndices de las componentes de un vector, mientras que el śımbolo sharp
] corresponde a ‘subir’ los ı́ndices de las componentes de una forma diferencial.
19
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
la variedad, son el tipo de trayectorias o curvas que extremizan la distancia4 entre un par de
puntos en la variedad. Estas curvas pueden cambiar de manera drástica de una geometŕıa a
otra. En nuestro caso particular electromagnético, podemos pensar que cada métrica identifica
un medio diferente a partir del principio de Fermat para la propagación de la luz, o en general
de una onda electromagnética.
Empezaremos aplicando esta idea al electromagnetismo en el vaćıo. Consideremos al vaćıo
como un medio descrito por una métrica (que llamaremos de fondo) dada por
∑3
η = g i j 1
0ijdx ⊗ dx − dt⊗ dt, (3.64)
ε µ
i,j=1 0 0
donde ε0 y µ0 son la permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética del vaćıo, respectiva-
mente. Podemos asumir que esta métrica de fondo corresponde al observador del laboratorio,
i.e. al observador que no se mueve en el espacio, sólo en el tiempo. Por tanto, el vector tem-
poral base definirá el marco de referencia de este observador (también llamado observador
“estático”). Dicho vector temporal estará dado por
√ ∂
ulab = ε0µ0 (3.65)
∂t
y lo normalizaremos con respecto a la métrica del laboratorio
η (ulab, ulab) = −1. (3.66)
Consideremos ahora, un medio homogéneo e isótropo simple en reposo con respecto al marco
de referencia del laboratorio. Este medio puede ser descrito por una métrica del material dada
por ∑3
g = gijdx
i ⊗ dxj − 1
dt⊗ dt, (3.67)
εµ
i,j=1
donde ε y µ serán consideradas constantes y son la permitividad y la permeabilidad del
medio, respectivamente. Es preciso observar, que el vector base temporal ulab no se encuentra
normalizado con respecto a la métrica del medio, esto es
−ε0µ0
g (ulab, ulab) = . (3.68)
εµ
Buscamos que la estructura geométrica con la que hemos dotado a M nos reproduzca las
relaciones constitutivas con una estructura como la conocida en el lenguaje de cálculo vectorial
(3.13). Por tanto, buscamos un mapeo multilineal5 κ̃ : Ω2 → Ω2
M M, tal que
G = κ̃[F ], (3.69)
o en términos de la conservación de carga y la 1-forma del potencial
d (k̃[dA]) = j . (3.70)
4Para una variedad Riemanniana las trayectorias que se extremizan son mı́nimas, mientras que para una
variedad pseudo-Riemanniana podŕıan ser máximas.
5No puede ser proporcional a la identidad.
20
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Buscamos establecer el mapeo κ̃ de manera expĺıcita. Para una variedad Riemanniana, el
operador estrella de Hodge es un isomorfismo natural, asociado a la métrica, que vincula las
p-formas con las (n− p)-formas para n = dim(M)
? : Ωp
g M → Ωn−p
M . (3.71)
En nuestro caso, hemos supuesto que dim(M) = 4, y tanto F como G son 2-formas, por lo
que podemos observar
? : Ω2 → Ω2
g M M . (3.72)
Aśı, el operador de Hodge se convierte en el isomorfismo natural que genere las relaciones
constitutivas dadas por
G = k ?g F . (3.73)
para k : M → R. En la figura 3.1, se puede observar como los diferentes elementos de la
teoŕıa electromagnética quedan vinculados a partir de las operaciones diferenciales que hemos
propuesto.
d
0 A F
?
d
G j 0
Ω0 Ω1 Ω2 Ω3 Ω4
Figura 3.1: Diagrama de la teoŕıa electromagnética a partir de operaciones diferenciales. La
fila de abajo representa la dimensión de las formas que se involucran.
Existen muchas formas de postular las relaciones constitutivas de manera geométrica. De-
finirlas mediante el operador de Hodge, nos genera la formulación métrica más sencilla del
electromagnetismo. Las ecuaciones de Maxwell, se pueden escribir ahora en términos de la
1-forma de potencial como
dG =d[k ?g F ] (3.74)
=d[k ?g dA] = j (3.75)
que de forma expĺıcita, desarrollando la derivada exterior obtenemos
dk ∧ ?gdA+ k d ?g dA = j . (3.76)
Aqúı hemos asumido que k :M→ R es diferenciable. A partir de ahora, cuando no haya am-
bigüedad de la métrica con la que estamos trabajando, omitiremos el sub́ındice g del operador
?. Aplicando el mapeo de Hodge a la ecuación (3.76) podemos obtener las ecuaciones duales
de Maxwell6:
? (dk ∧ ?dA) + ?(k d ? dA) = ? j , (3.77)
usando la linealidad del operador estrella de Hodge
? (dk ∧ ?dA) + k ? d ? dA = ? j . (3.78)
6Las ecuaciones (3.76) y (3.78) son las mismas ecuaciones en diferentes espacios, dado que (3.76) está en
Ω3
M y (3.78) está en Ω1
M.
21
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Usamos la codiferencial, definida como
δ = (−1)n(k−1)+1sign(g) ? d ? , (3.79)
si n = 4, k = 2 y sign(g) = −1, entonces
δ = ? d ? . (3.80)
Finalmente, la ecuación (3.78) se reescribe como
? (dk ∧ ?dA) + kδdA = ? j . (3.81)
Al igual que el operador de Hodge, podemos introducir un operador Laplaciano dependiente
de la métrica ∆ : Ωp → Ωp
g M M, definido como
∆g ≡ dδ + δd . (3.82)
Al igual que antes, omitiremos el sub́ındice g cuando no haya ambigüedad en la métrica usada.
Si usamos el Laplaciano en el potencial A, tenemos
δdA = ∆A− dδA , (3.83)
ecuación que hereda la simetŕıa de F , ya que en general, para A′ = A + dψ se cumple que
δdA = δdA′ y esto implica que
∆A′ − dδA′ = ∆A− dδA . (3.84)
Aśı, las ecuaciones de Maxwell se pueden ver como
?︸(dk ︷∧︷?dA︸) + k︸(∆A︷−︷ dδA︸) = ? j . (3.85)
medio no homogéneo relación constitutiva de Hodge
Para explorar un poco más la parte de la relación constitutiva de Hodge, suponemos un medio
homogéneo, (i.e. k = cte).
k(∆A− dδA) = ? j , (3.86)
o de forma dual:
? [k(∆A− dδA)] = j . (3.87)
Recordamos que
? ?α = (−1)k(n−k)sign(g) α (3.88)
y en nuestro caso
? ?j = j . (3.89)
Del postulado de conservación de la carga∫total tenemos que
dj = 0 (3.90)
Ω
y usando la identidad de S∫tokes o∫btenemo∫s
dj = j = ? [k(∆A− dδA)] = 0 . (3.91)
Ω ∂Ω ∂Ω
22
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Queremos saber si ?k∆A puede ser una corriente conservada (i.e. una 3-forma cerrada, que
cumpla la condición de∫consistencia). Para eso, us∫amos la libertad de norma
? [k(∆∫A′ − dδA′)] = k
∂Ω ∫ j (3.92)
∂Ω
⇒ ? [k∆A′] = ∫ j + ?dδA′ (3.93)
∂Ω ∂Ω
= ∫ j + ?dδ(A+ dψ) (3.94)
∂Ω
= ∫ j + ?d(δA+ δdψ) (3.95)
∂Ω
= j + ?d(δA+ ∆ψ) . (3.96)
∂Ω
Para que j se conserve, lo único que necesitamos es que δA+ ∆ψ = 0, por lo que
δA = −∆ψ + c (3.97)
para c una constante. Usando esta condición
j = ? [k(∆A− dδA)] = ? [k(∆A− d(c−∆ψ))] (3.98)
= ? [k(∆A− d∆ψ)] (3.99)
= ? [k∆(A− dψ)] (3.100)
= ? k∆A′ . (3.101)
En particular, si ∆ψ = c entonces δA = 0. A esta elección de norma se le conoce como la
norma de Lorentz. Esto implica que
? k∆A = ? k∆A′ = j . (3.102)
A partir de las suposiciones hechas sobre la métrica, la ecuaciones de Maxwell en un medio ho-
mogéneo, da como resultado una 3-forma que representa una ecuación de onda no homogénea.
En resumen, las ecuaciones de Maxwell (3.57), más la relación constitutiva de Hodge y la
elección de la norma de Lorentz se expresa como
G = k ? F + δA = 0 . (3.103)
Esto da como resultado las ecuaciones de Maxwell-Hodge para un medio
?(k∆A) = ? j homogéneo (3.104)
dk ∧ ? dA+ ?(k∆A) = ? j no-homogéneo . (3.105)
Si partimos del hecho que se cumple (3.104) (o (3.105)), el campo estará dado por F = dA
y la conservación de la carga (corriente) será consecuencia de la norma de Lorentz y de la
relación constitutiva de Hodge:
δA =0 (3.106)
⇒ ?j = ? k∆A (3.107)
= ? k(dδA+ δdA) (3.108)
= ? kδF (3.109)
= ? dG , (3.110)
23
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
por lo tanto
j = dG (3.111)
∴ dj = 0. (3.112)
Una vez establecida la libertad de norma y las relaciones constitutivas para los potenciales,
podemos usar esta herramienta en coordenadas locales para recuperar las expresiones conoci-
das de los campos en el formalismo vectorial. Como hemos establecido dos métricas, una para
el fondo y otra para el medio, denotaremos el operador de Hodge como ∗ cuando estemos
utilizando el asociado a la métrica de fondo (o del marco de referencia del laboratorio) η,
mientras que el śımbolo ? lo usaremos cuando nos estemos refiriendo al operado de Hodge
asociado a la métrica del medio g. Como cualquier mapeo lineal, el dual de Hodge se encuentra
completamente definido en térm( inos de la) acción en las formas de la base
∗ (dxi ∧ dxj) = √ 1
dxk ∧ dt, (3.113)
ε0µ0
∗ k √
( dx ∧ dt ) = − ε µ dxi0 0 ∧ dxj , (3.114)
1
? dxi ∧ dxj = √ dxk ∧ dt (3.115)
εµ
y ( ) √
? dxk ∧ dt = − εµ dxi ∧ dxj . (3.116)
A partir de la definición del operador de Hodge, podemos observar
?F = ?B+
∑
? (E ∧ dt) 
3
= ? B dxi ∧ dxj (∑ )
3
+ ? E dxkij k ∧ dt
∑i,j=1
3 ( ) ∑ k=1
3 ( )
= Bij ? dxi ∧ dxj + Ek ? dxk ∧ dt
i,j=1 k=1
3
√1 ∑
k ∧ −√= B dx dt εµ E dxi ∧ dxjk k . (3.117)
εµ
k=1
por tanto, podemos encontrar de manera expĺıcita la constante k en términos de las coorde-
nadas locales √
ε
G = ? F. (3.118)
µ
Si desarrollamos G (cf. ecuación (3.43)) tenemos
1 ∑3
G = Bkdx
k ∧ dt− εEkdxi ∧ dxj
µ
∑k=1
3 ∑3
= H dxk ∧ dt− D dxik ij ∧ dxj
k=1 i,j=1
= H ∧ dt−D. (3.119)
24
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Podemos observar que las relaciones constitutivas geométricas de Hodge (3.118) asociadas a
la métrica del material (3.67) son equivalentes a las de un medio homogéneo e isotrópico con
relaciones constitutivas
1
D~ lab = εE~ lab y H~ lab = B~ lab. (3.120)
µ
Los vectores en el marco de referencia del laboratorio se han calculado contrayendo los ı́ndices7
de las 2-forms F y G con el vector velocidad del marco de referencia del laboratorio ulab,
usando la métrica del laboratorio. La 1-forma resultante se mapea a su correspondiente campo
vectorial a través del isomorfismo musical
E~
1 ]
lab = −√ η [ιu F ] , (3.121)
ε µ lab
0 0
1
H~ ]
lab = −√ η [ιu G] (3.122)
ε µ lab
0 0
y
B~ lab = −η] [ιu ∗ F ] , (3.123)
lab
D~ lab = η] [ιu ∗G] . (3.124)
lab
Notemos que aunque los campos vectoriales (3.121) - (3.124) están sobre la variedad M,
cada espacio tangente puede ser identificado directamente con vectores espaciales sobre R3,
concordando con la formulación vectorial del electromagnetismo. Esta conversión de manera
expĺıcita, de forma general no se encuentra en la literatura de las formas diferenciales.
Observamos que el carácter general de este lenguaje lo vuelve una herramienta muy poderosa,
ya que nos permite extraer las componentes vectoriales de flujos y campos en cualquier sistema
de coordenadas, a partir de la 2-forma de flujo (Faraday) F y la métrica del material g. El
vector temporal normalizado ∂
∂t , juega el papel de observador en reposo con respecto al marco
de referencia del laboratorio. Este vector es tangente a una curva en M sin componentes
espaciales. Esto representa a un observador que se encuentra estático en el espacio, pero que
evoluciona temporalmente a velocidad unitaria. [cf. ecuaciones (3.66)]. Las ecuaciones (3.121)
– (3.124) representan los flujos y los campos que mide un observador estático en el marco de
referencia del laboratorio.
Las relaciones constitutivas del medio, necesarias para completar las ecuaciones de Maxwell
(3.118), pueden ser incorporadas a partir de introducir un tensor métrico que caracteriza al
medio. La métrica caracteriza la geometŕıa por la cual se propagan los campos electromagnéti-
cos. Esto fue identificado desde los principios de la teoŕıa general de la relatividad, donde se
puede pensar al campo gravitacional como un medio óptico desde el punto de vista de la
propagación de la luz. Expresar las propiedades de un medio en términos de una variedad
Riemanniana curva es un campo activo y fértil para la investigación. Hasta este punto, hemos
podido notar que el observador juega un papel central en la recuperación de las expresiones
7La contracción entre una p-for[ma y un campo]vectorial[v está definida en] [42]
ιvω u(1), . . . , u(p−1) = p · ω v, u(1), . . . , u(p−1) ,
donde {u p−1
(i)}i=1 es un conjunto de campos vectoriales en M. La contracción de una p-forma y un campo
vectorial v da como resultado una (p− 1)-forma
ιvω = p · ω(v).
25
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
vectoriales de los campos electromagnéticos. De hecho, la descomposición de los campos en
sus partes eléctrico y magnético, depende particularmente del observador.
La ventaja de adoptar este formalismo geométrico para formular las relaciones constitutivas,
se centra en su generalidad. Ecuaciones como (3.118), son expresiones independientes del ob-
servador y libres de coordenadas. Lo que implica que su validez no depende de las coordenadas
que se usen ni del marco de referencia en el que se encuentre, ya sea inercial o no. Aún cuando
las ecuaciones (3.121) – (3.124) son las expresiones de los campos electromagnéticos medidos
por un observador estático en el marco de referencia del laboratorio, éstas pueden ser genera-
lizadas a cualquier marco de referencia sustituyendo el vector de velocidad espacio-temporal
∂
∂t por cualquier otro vector u tal que g(u, u) = −1/εµ.
3.4. Conductores y ley de Ohm
Una vez expuestos los principios básicos del electromagnetismo en un lenguaje geométrico
general, podemos ampliar el formalismo a medios conductores. Estos medios se rigen por la
ley de Ohm, la cual se puede escribir como una nueva relación constitutiva. A partir de esta
relación se puede generar una versión geométrica del teorema de Poynting y proponer en este
mismo lenguaje la conservación de la enerǵıa electromagnética.
Como en las secciones anteriores, empezamos con el observador que se encuentra en el marco
de referencia estático (marco del laboratorio) que sólo se mueve en la dirección temporal
∂
~ulab = . (3.125)
∂t
De manera usual, la ley de Ohm se escribe en términos vectoriales como
~j ~
ind = σE (3.126)
donde jind es la corriente eléctrica inducida y σ la conductividad del medio [43]. Consideremos
un observador en el marco del laboratorio (~ulab) y un medio homogéneo e isotrópico con
conductividad constante σ. Podemos establecer la relación algebraica entre la 2-forma de
Faraday F y la 3-forma de corriente inducida jind que mide dicho observador
? i~u ? i~u jind = σ ? i
lab lab ~u F, (3.127)
lab
donde ? es el operador de Hodge. La ecuación (3.127) es la expresión geométrica de la ley
de Ohm, que depende expĺıcitamente del observador, a diferencia de la relación constitutiva
escrita en (3.118). Con esta información, podemos volver a encontrar la expresión vectorial
que mediŕıa el observador del laborat√orio dada po(r )
~j ]
ind = |det(g)|g i~u ? i j (3.128)
u~lab lab ~ulab ind
de donde podemos observ√ar que ( ) ( )
|det(g)|g] i~u ? i~u j = σg] i
lab lab ind ~u F
lab
= σE~~u (3.129)
lab
y por tanto, regresar a la ley de Ohm vectorial.
De la misma forma, la conservación de la enerǵıa depende particularmente del estado de
movimiento del observador y de las propiedades particulares del medio en el que se propagan
26
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
los diferentes campos electromagnéticos. Este hecho, ha sido discutido ampliamente en dife-
rentes trabajos y no ha sido del todo resuelto. Para poder distinguir el estado de movimiento
de un observador a partir de su vector velocidad, es necesario introducir el concepto de co-
nexión a la variedad del espacio-tiempo M. Este concepto, generaliza lo que en geometŕıa
Euclidiana llamamos ĺıneas rectas que caracterizan el movimiento libre de fuerzas sobre una
variedad. En esta parte del trabajo, nos enfocaremos únicamente en mostrar que existe una
3-forma de corriente de enerǵıa-momento, que codifica la enerǵıa y el momento disponible
en los campos electromagnéticos para un observador cualquiera. Algo más general, debeŕıa
considerar la interacción entre el estado de movimiento del observador y los mismos campos
electromagnéticos; cosa que no haremos en esta parte.
Consideremos la densidad Lagrangiana electromagnética
L −1
= F ∧G, (3.130)
2
y un observador que se mueve a una velocidad ~u (cumpliendo g(~u, ~u) = −1/εµ). Definimos la
3-forma de densidad de flujo de enerǵıa-momento como
Eu = iuL+ F ∧ iuG. (3.131)
Esta densidad representa la cantidad de enerǵıa-momento que fluye a través de la frontera
de una región 4- dimensional del espacio-tiempo. Las componentes de esta 3-forma tienen la
información de la densidad de enerǵıa-momento almacenada en los campos electromagnéticos
que se encuentra disponible para el observador que se mueve a velocidad ~u. Para el caso de
~ulab, el primer término de (3.131) se desarrolla como:
i~u L = −1
i~u [F ∧G]
lab 2 lab
−1
= i ∂ [(B + E ∧ dt) ∧ (−D +H ∧ dt)]
2 ∂t
1
= − i ∂ [(B ∧H − E ∧D) ∧ dt]
2 ∂t
1
= (B ∧H − E ∧D) , (3.132)
2
mientras que el segundo término queda como
F ∧ i~u G = (B + E ∧ dt) ∧ i
lab ~u (−D +H ∧ dt)
lab
= (B + E ∧ dt) ∧ (−H)
= −B ∧H + E ∧H ∧ dt. (3.133)
Por tanto, la 3-forma queda como
E~u = −1
(B ∧H + E ∧D) + E ∧H ∧ dt. (3.134)
lab 2
27
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
A partir de esta 3-forma[, podemos encontrar la 1-forma dua]l S̃ = ?E~u :
lab
−1
S̃ = ? [ (B ∧H + E ∧D) + E ∧H ∧ dt
2
1 ( )
= ? − BijH
i
kdx + EkDij dx]i ∧ dxj ∧ dxk+
2
(EiHj −H i j
jEi) dx ∧ dx ∧ dt
=− 1
((BkHk + EkDk)) dt+ |[d(et(g)| (E)iHj −H] jEi) dxk
2
− 1
= B~ ·H~ + E~ ·D~ dt+ E~ ×H~ · ∂
dxk. (3.135)
2 ∂xk
Inmediatamente, podemos reconocer la densidad de enerǵıa almacenada en los campos elec-
tromagnéticos, que se encuentra disponible para(el observador d)el laboratorio como
− 1
U = i S̃ = B~ ·H~~u ~u + E~ ·D~ , (3.136)
lab lab 2
que coincide directamente con los resultados vectoriales conocidos. Ahora estamos en posición
de definir la 2-forma de Poynting S dada por
S = ?i~u E = ? (E ∧H)
lab ~ulab
= [?((EiHj −)HjEi)]dxi ∧ dxj
= E~ × ~ · ∂
H dxk ∧ dt (3.137)
∂xk
de donde podemos recuperar el[tradici]onal vec[tor de Poynting]
S~~u = −g] i S = −g] i ? i E = E~ ×H~ . (3.138)
lab ~ulab ~ulab ~ulab ~ulab
Como podemos observar, efectivamente la 3-forma E~u puede ser interpretada como una
lab
corriente de densidad de enerǵıa-momento, donde la ley de conservación de enerǵıa para un
observador en el laborator∮io está dada por
E !
= 0 ∀Ω4 ⊂ !
~u M =⇒ dE~u = 0. (3.139)
lab lab
∂Ω4
Es importante notar que esta ley de conservación depende del observador. Su validez depende
de que el campo no realice trabajo sobre el observador, ni el observador genere un cambio
en la distribución del campo. Bajo estas premisas, la conservación de la enerǵıa se representa
demandando la siguiente igualdad [ ]
E !
d ~u = d i~u L+ F ∧ i G = 0. (3.140)
lab lab ~ulab
Esto se puede sintetizar en
di~u L+ di~u F ∧G+ F ∧ i
lab lab ~u j
lab ind = 0. (3.141)
Ahora, podemos dar una versión geométrica (en formas diferenciales) del teorema de Poynting
∂
? dE ~ ~ ~
g ~u = U
lab ~u +∇ · S~u + E~u · jind = 0. (3.142)
∂t lab lab lab u~lab
28
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Estos resultados nos permiten escribir la conservación de la enerǵıa y el momento en un sólo
objeto matemático: la 3-forma Eu. Cabe destacar, que aunque la interpretación de esta 3-
forma es la cantidad de enerǵıa almacenada en los campos electromagnéticos disponible para
el observador u, en general no es la cantidad total de enerǵıa en los campos. Podemos observar,
que el medio juega un papel fundamental en la definición de esta 3-forma, en las relaciones
constitutivas (3.118) que lo caracterizan.
29
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
4. La métrica óptica y algunas aplicaciones
En la última década ha crecido de manera significativa el uso de la geometŕıa diferencial
y la Relatividad General como herramientas para describir fenómenos electromagnéticos en
medios. La estrecha relación entre una métrica del espacio-tiempo y las caracteŕısticas elec-
tromagnéticas de un medio tales como la permitividad eléctrica, permeabilidad magnética y
efectos magnetoeléctricos hacen que dichos formalismos facilitan modelar y controlar estas
caracteŕısticas para diseñar nuevos metamateriales ópticos. Esta herramienta ha sido previa-
mente explotada en formalismos como la óptica de transformaciones, donde se han llevado de
manera satisfactoria estos diseños a la práctica. Sin embargo, esta relación entre la métrica
del espacio-tiempo y el electromagnetismo no queda del todo bien entendida. Como ejemplo
claro de esto, tenemos el ı́ndice de refracción. Comúnmente, el el ı́ndice de refracción n se
define como un escalar dado por el cociente entre la velocidad de la luz en el vaćıo (c) y la
velocidad efectiva de ésta en un medio (v), esto es n = c
v . De la misma manera, esto puede
reescriboirse en términos de las propiedades electromagnéticas de un medio dieléctrico como
2 εµ
n = (4.1)
ε0µ0
donde c2 = 1 2 1
ε µ y la velocidad efectiva de la luz en el medio está dada por v = εµ . Cuando
0 0
los medios son inhomogéneos e isotrópicos, ε y µ son tensores con una representación matricial
3×3 no reducible a escalar. Aunque se conozcan las componentes de estas matrices, no queda
clara la forma de obtener el ı́ndice de refracción a partir de ellas.
A mediados de los 1920’s, Gordon planteó que la geometŕıa del espacio-tiempo puede ser
equivalente a la de un medio óptico. Por tanto, el ı́ndice de refracción se podŕıa leer de manera
directa del término temporal de la métrica del espacio-tiempo en coordenadas isotrópicas
cartesianas. A esta métrica se le conoce como la métrica óptica [8]. Esta solución, aunque
práctica, no es definitiva. Existen geometŕıas equivalentes a medios ópticos que no pueden ser
llevadas a coordenadas isotrópicas cartesianas a partir de transformaciones conformes y al no
encontrar la expresión de su métrica óptica, no se puede determinar el ı́ndice de refracción.
En este caṕıtulo se abordarán el concepto y las bases para construir un tensor constitutivo,
aśı como el formalismo de la métrica óptica y se mostrarán algunos ejemplos de diferentes
geometŕıas equivalentes a medios ópticos usando este formalismo.
4.1. La permitividad y permeabilidad en términos del tensor
constitutivo
El electromagnetismo en medios descrito por las ecuaciones de Maxwell, que en el lenguaje
del cálculo vectorial se expresan de manera local (diferencial) como
∇ ·B~ = 0 ,
∇× E~ ∂
+ B~ = 0 ,
∂t
∇ ·D~ = ρext
∇×H~ − ∂
D~ = ~jext . (4.2)
∂t
30
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Como hemos mencionado anteriormente, esta información resulta incompleta para resolver el
problema fundamental de teoŕıa de campos: Dadas las fuentes, poder encontrar la expresión
de los campos externos. Para completar la información, es necesario introducir una serie de
ecuaciones que relacionen los campos externos (E~ ,B~ ) con los campos inducidos (D~ ,H~ ). Estas
ecuaciones son conocidas como relaciones constitutivas, y describen la respuesta del medio
ante est́ımulos electromagnéticos externos. La forma más simple de proponer esta respuesta
es de manera lineal [cf. ecuación (3.13)]
D~ = ε̄E~ + ζ̄B~ , (4.3)
H~ = µ̄−1B~ + ξ̄E~ (4.4)
donde ε̄ y µ̄ son las matrices 3 × 3 de la permitividad eléctrica y permeabilidad magnética,
respectivamente. Las matrices ζ̄ y χ̄ son las matrices de efectos magnetoeléctricos.1 En tra-
bajos recientes [44], [45] las ecuaciones constitutivas se derivan de un principio variacional,
donde el principio de acción para el camp∫o electromagnético está dado por
−1
I = χabcdF 4
abFcd d x, (4.5)
4
usando la convención de suma de Einstein. En esta formulación, el tensor χαβγδ codifica toda
la información electromagnética del medio. A partir de la definición de la acción (4.5), el
tensor χ cumple con las siguientes simetŕıas [46] :
χabcd =− χbacd = −χbadc (4.6)
χbacd =χcdba. (4.7)
Recapitulando las ecuaciones de Maxwell en términos de las 2-formas diferenciales F y G [cf.
ecuaciones (3.39) y (3.40)], podemos observar que este tensor constitutivo está relacionado
con los conceptos geométricos previamente e√xpuestos. Dadas las relaciones constitutivas de
Hodge, tenemos
ε
G = ? F, (4.8)
µ
que en términos de sus componentes,√se puede escribir como
Gab
1 ε
= √ gac( gbdF[cd] ) (4.9)
2 µ
1 ε
= gacgbd − gadgbc Fcd. (4.10)
2 µ
Al convertirlo en un tensor (0√, 2) obtenemos
| √
det g| ε ( )
G ce df cf de
ab = εabcd g g − g g Fef . (4.11)
2 µ
Esta notación se puede compactar si definim√os un tensor constitutivo κ, tal que
1 ε
G = κ cd
ab ab Fcd. (4.12)
2 µ
1Para medios isotrópicos y homogéneos, estas matrices son reales. En la mayoŕıa de los casos, cuando las
matrices son complejas, se cumple que χ̄ = ζ̄†. Sin embargo, para no perder generalidad, las consideraremos
matrices diferentes.
31
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
El tensor κ cuenta con 36 componentes independientes, con la información de todas las pro-
piedades electromagnéticas del medio. Este tensor es antisimétrico por pares de ı́ndices
κ cd = −κ cd = −κ cd
ab ab ab . (4.13)
Se puede definir de forma equivalente una densidad tensorial constitutiva en el espacio-tiempo
[47] que resulte más conveniente:
abcd 1
χ := εabefκ cd . (4.14)
2 ef
para εijkl es el tensor totalmente antisimétrico de Levi-Civita. Esta densidad, tiene las mismas
36 componentes independientes que κ. Estas se pueden descomponer en tres partes irreduci-
bles: 36 = 20+15+1 [47]. Las primeras 20 componentes conforman la parte principal simétrica,
que es responsable de la respuesta macroscópica usual de los parámetros dieléctricos [45]. Las
siguientes 16 componen la parte llamada skewon relacionadas con procesos disipativos del
medio. El último componente llamado axion ha sido tema de estudio en los últimos años,
pero su interpretación aún no queda completamente clara.
χmnab = ︸(1)χ︷m︷na︸b +(2) ︸χm︷︷na︸b + ︸(3)χ︷m︷na︸b (4.15)
∑principal skewon axion
3
= (A)χmnab . (4.16)
A=1
Cabe recalcar, que debido a (4.14), el tensor κ se divide exactamente igual, i.e.
∑3
κ cd
mn = (A)κ cd
mn . (4.17)
A=1
Si la relación espacio-temporal puede ser adquirida de un Lagrangiano, entonces las partes de
skewon y axion deben anularse. La parte skewon de 15 componentes independientes se puede
mapear a un tensor Sβα [47] dado por
1
S b := ε (2)
a acde χcdeb , (4.18)
4
mientras la componente de axion se puede mapear a un pseudo-escalar:
1
α := ε (3)
abcd χabcd . (4.19)
4!
Dada una geometŕıa particular del espacio-tiempo (i.e. dado un tensor métrico g), la densidad
tensorial constitutiva se puede expres√ar en térm(inos de este ten)sor métrico
χabcd
1
= |det g| gacgbd − gadgbc . (4.20)
2
Para un medio y un observador general, la densidad χ se puede descomponer en los tensores
de permitividad ε, permeabilidad µ y los efectos magnetoeléctricos ζ y ξ [20]. Cada uno de
estos tensores es medido en la dirección perpendicular al movimiento del observador y pueden
ser expresados en términos de matrices 3×(3 como se)plantea en las ecuaciones (4.3) y (4.4)
ε ζ
χ = . (4.21)
ξ µ−1
32
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Ecuaciones (3.121) – (3.124) nos permiten encontrar las componentes de los campos para
un observador determinado que se mueve a velocidad u [45]. Con esta información, podemos
encontrar las componentes de cada una de estas matrices [27]
[ ε]ab =− 2χacbd ucud (4.22)
−1 ab 1
µ = εca εdb efgh
2 ef gh χ ucud (4.23)
ζab =εab efcd
ef χ ucud (4.24)
para u el 4-vector de velocidad del observador y εabcd el tensor antisimétrico de Levi-Civita.
De manera generalizada, se considera que ξ = ζ† tanto para los casos isotrópicos como an-
isotrópicos. Sin embargo, en las siguientes secciones veremos que para medios en movimiento,
se pueden generar medios equivalentes en el laboratorio donde esto no siempre se cumple.
4.2. La métrica optica
A finales de la década de los 60’s los fenómenos ópticos en un medio material se empezaron a
describir de forma equivalente a la interacción de la luz con un campo gravitacional. De esta
forma, podemos caracterizar un medio óptico en términos de la geometŕıa de un espacio-tiempo
equivalente. A este medio lo denotamos como un medio equivalente2. Dadas las caracteŕısticas
geométricas de esta descripción de fenómenos ópticos, de ahora en adelante estaremos usando
unidades geométricas (i.e c = 1/(ε0µ0) = 1 y n2 = 1/v, para v la velocidad efectiva de la luz
en el medio).
Para ciertas caracteŕısticas de las propiedades electromagnéticas ε, µ, ζ y ξ conocidas como
condiciones de compatibilidad [27], es posible describir por completo al medio (electromagnéti-
camente) en términos de la métrica g. Sin embargo, se puede mostrar que siempre existe un
observador (o marco de referencia) tal que cualquier condición de compatibilidad se reduce
a la condición de impedancia εab = µab. Las matrices magnetoeléctricas tienen relevancia
únicamente en fenómenos disipativos y con caracteŕısticas no-locales.
El elemento de ĺınea de una métrica g está dado por ds2 = gabdx
adxb. Para un espacio
conformalmente plano, en coordenadas cartesianas tenemos
2 − 1
ds = dt2 + dx2 + dy2 + dz2 , (4.25)
n2
donde n es el ı́ndice de refracción del medio y por tanto, el factor 1/n2 es la velocidad efectiva
de la luz en el espacio-tiempo. Particularmente en el vaćıo n = 1, recuperamos la métrica
de Minkowski, como era de esperarse. Toda métrica con esta estructura se conoce como una
métrica óptica. Cualquier métrica que se pueda llevar a coordenadas isotrópicas cartesianas
por medio de transformaciones conformes, adquiere esta estructura “ óptica”. Cabe destacar
que las transformaciones conformes, en general cambian la geometŕıa pero no las trayectoria
de las geodésicas nulas. Esto implica que en esta nueva geometŕıa las trayectorias de la luz
son las mismas, salvo re-parametrizaciones de las curvas. Existen geometŕıas que no se puede
convertir a coordenadas isotrópicas cartesianas por medio de transformaciones conformes.
Para este tipo de geometŕıas no es claro cómo adquirir una métrica óptica.
4.2.1. Ejemplos de medios equivalentes
Como hemos observado, podemos modelar las propiedades electromagnéticas de un medio
óptico a partir de su geometŕıa. Esto nos lleva a plantear medios hipotéticos que pudieran tener
2Equivalente a un campo gravitacional que genere la misma geometŕıa del espacio-tiempo.
33
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
la misma geometŕıa de un espacio-tiempo generado por un modelo gravitacional. Estos medios
los hemos llamado “medios equivalentes”. A continuación veremos dos ejemplos expĺıcitos
de estos medio equivalentes: el universo de Einstein y el espacio-tiempo de Schwarzschild.
Las geometŕıas de estos dos modelos gravitacionales son isotrópicas y homogéneas, por lo
que pueden ser consideradas “simples”. En ambos casos, es posible hacer la transformación
conforme a coordenadas isotrópicas cartesianas y adquirir su métrica óptica.. Haremos los
cálculos expĺıcitos y mostraremos las geodésicas nulas, que representaŕıan las trayectorias que
seguiŕıa la luz en estos medios equivalentes
El universo de Einstein
En este modelo gravitacional, se asume que el espacio-tiempo es estático y tiene una distri-
bución uniforme de materia. Estas suposiciones llevan a un universo estático, finito y con
curvatura espacial esférica. Para este modelo se debe incluir la constante cosmológica Λ pro-
puesta por Einstein. La forma general(de la mé)trica de esta geometŕıa está dada por la métrica
2 − r2
g = a(t) 1 dr2 + r2dΩ− dt2 (4.26)
k2
en donde dΩ = dθ2 + sin2 θdϕ2. Resolvemos las ecuaciones de campo de Einstein para esta
métrica
G+ Λ = κT, (4.27)
donde T el tensor de enerǵıa-momento dado por
Tµν = (ρ(t) + p(t))uµuν + p(t)gµν . (4.28)
En este caso ρ(t) y p(t) son la densidad y la presión respectivamente, mientras que u es la
velocidad del observador inercial dada por uα = dt. Suponemos una solución estática para las
ecuaciones de Einstein, lo que significa
ä(t) = ȧ(t) = 0 , p(t) = 0 . (4.29)
Resolvemos (4.27) para encontrar la métrica espećıfica
1 r2 r2 sin2 θ
g0 = dr2 + dθ2 + dϕ2 − dt2 . (4.30)
Λ(k2 − r2) Λk2 Λk2
Con esta métrica, ahora buscamos las hipersuperficies de tiempo constante, que debeŕıan ser
conformalmente planas. Para esto, haremos un cambio de coordenadas genérico de r → R
dado por r = f(R). Sustituimos en (4.30) y obtenemos una métrica de prueba
f ′(R)2 2
2 f(R) f(R)2 sin2 θ
gtest = − dR + dθ2 + dϕ2 . (4.31)
Λ(k2 f(R)2) Λk2 Λk2
La estructura más general de una métrica conformalmente plana está dada por
g 2 2 2 2 2 2 2
cf = Ω(R) dR + Ω(R) R dθ + Ω(R) R sin2 θ dϕ2 , (4.32)
donde Ω(R)2 es el factor conforme de la métrica. Para encontrar las funciones desconocidas
f(R) y Ω(R), imponemos la restricción de que ambas métricas (4.31) y (4.32) deban tener el
mismo tensor de curvatura Rαβµν y el mismo escalar de Ricci R
Rαβµν(gtest) = Rαβµν(gcf ) , R(gtest) = R(gcf ) . (4.33)
34
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
De (4.33) encontramos las funciones desconocidas
2
Ω(R) = √ 4k 4k R
, f(R) = . (4.34)
Λ (R2 + 4k2) R2 + 4k2
Finalmente, podemos hacer la transformación de coordenadas con las soluciones obtenidas en
(4.34) de f(R) y adquirir la métrica isotrópica
16k2 16k2R2 16k2
2 2 R2 sin2 θ
g 2
iso = 2 dR + 2 dθ + 2dϕ − dt2 . (4.35)
Λ (R2 + 4k2) Λ (R2 + 4k2) Λ (R2 + 4k2)
Como la métrica óptica es una métrica en coordenadas isotrópicas cartesianas, primero encon-
tramos la métrica conforme en coordenadas esféricas multiplicando por el inverso del factor
conforme Ω(R()
2
) ( )
1 Λ R2 + 4k2 2
g = g = dR2 +R2 dθ2 +R2 sin2 θ dϕ2 − dt2conf iso . (4.36)
Ω(R)2 16k2
Finalmente, hacemos la transformación a coorden(adas cartesianas )2
2 Λ 4k2 + x2 + y2 + z2
goptical = dx + dy2 + dz2 − dt2. (4.37)
16k2
De (4.37) podemos leer directamente la velocidad de la luz a partir de su término temporal,
además de poder esxtraer el ı́ndice de refracción del medio equivalente
2
n2 16k
= 2 (4.38)
Λ (R2 + 4k2)
para R = x2 + y2 + z2.
Para encontrar las geodésicas nulas, resolvemos las ecuaciones geodésicas
ẍµ + Γµ ẋααβ ẋβ = 0 (4.39)
y graficamos dichas soluciones. Estas serán las trayectorias que seguiŕıan los rayos de luz en
este medio equivalente. Figura 4.1.
Figura 4.1: Rayos de luz de un medio equivalente a la geometŕıa del universo de Einstein.
Estas trayectorias son las soluciones de las ecuaciones geodésicas de la métrica óptica. La
imagen izquierda se encuentra restringida al plano xy, mientras que la imagen de la derecha
se muestra en 3D.
35
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
El espacio-tiempo de Schwarzschild
Para este modelo, haremos el mismo ejercicio que en el universo de Einstein. En este caso
particular, el modelo cumple con las mismas propiedades que el universo de Einstein, pero
supone la existencia de una masa M que se traduce a una singularidad en el universo y por
tanto en el espacio-tiempo. Para este ejemplo, partiremos de la forma isotrópica general de
una métrica con una singularidad
g = B(r)2 dr2 +R(r)2 dθ2 +R(r)2 sin2 θ dϕ2 −N(r) dt2 (4.40)
donde B(r) , R(r) y N(r) son funciones desconocidas del radio. Calculamos las expresiones
expĺıcitas de estas funciones por medio del tensor de Einstein G
Gαβ = Rαβ − 1
S gαβ (4.41)
2
para Rαβ el tensor de curvatura de Ricci y S el escalar de Ricci. Resolvemos las ecuaciones
diferenciales de donde obtenemos la forma espećıfica de la métrica
− r 2 2 2 2 2M − r
gs = − dr + r dθ + r sin2 θ dϕ+ dt2. (4.42)
r + 2M r
En este caso, hemos establecido algunas constantes de integración como C1 = I y C2 = 2M
y hemos sustituido R(r) = r.
Consideramos ahora, las hipersuperficies de tiempo constante con la métrica inducida. Ob-
servamos que éstas son realmente conformalmente planas y encontramos de forma expĺıcita el
factor conforme para realizar el cambio de coordenadas. Notemos que nuestro encaje, todav́ıa
mantiene una función desconocida f(ρ), la que determinaremos igualando las curvaturas de
la métrica inducida gtesty la métrica conformalmente plana gcf . La métrica inducida queda
como
− f(ρ)f ′(ρ)2
g 2
test = − dρ + f(ρ)2 dθ2 + f(ρ)2 sin2 θ dϕ2 , (4.43)
2M f(ρ)
y la métrica conformalmente plana queda como
gcf = Ω(ρ)2 dρ2 + Ω(ρ)2 ρ2 dθ2 + Ω(ρ)2 ρ2 sin2 θ dϕ2 , (4.44)
Resolviendo para las condiciones dadas por (4.33), obtenemos
C1(Mρ+ C 2 2
2) (Mρ+ C2)
Ω(ρ) = , f(ρ) = (4.45)
2ρ2C2 2ρC2
para C1 y C2 constantes de integración por definir. Ahora, usamos la función radial obtenida
y realizamos la transformación de coordenadas del espacio-tiempo completo de Schwarzschild
(Mρ+ C2)4
2 (Mρ+ C2)4
2 (Mρ+ C2)4 sin2 θ 2− (Mρ− C )2
2
giso = 2 dρ + 2 dθ + 2 dϕ dt2 . (4.46)
4ρ4C2 4ρ2C2 4ρ2C2 (Mρ+ C )2
2
Para fijar la constante C2, usamos el ĺımite asintótico de la componente radial de la métrica.
Fijamos θ = π/2 y hacemos tender ρ→∞, obteniendo
M4
= 1. (4.47)
(2C 2
2)
36
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Por tanto, C2 = M2/2. Encontramos la métrica isotrópica
(2ρ+M)4 (2ρ+M)4
2 2 (2ρ+M)4 sin2 θ (M − 2ρ)2
g = dρ + dθ + dϕ2 − dt2iso . (4.48)
16ρ4 16ρ2 16ρ2 (2ρ+M)2
Multiplicamos por el inverso del factor conforme Ω(ρ) dado por (4.45), para encontrar la
métrica isotró(pica en c)oordenadas esféricas
M −4 4 2
gconf = 1 + giso = dρ2 + ρ2 dθ2 + ρ2 sin2 θ dϕ− 16ρ (M − 2ρ)
dt2. (4.49)
2ρ (2ρ+M)6
Finalmente, transformamos a coorden(adas cartesia)na(s para o√btener la métr)ica óptica
2 2
16 x2 + y(2 +√z2 M − 2 x2 +) y2 + z2
g = dx2 2
optical + dy + dz2 − 6 dt2 (4.50)
2 x2 + y2 + z2 +M
de donde podemos leer directamente el ı́ndice de refracción del medio equivalente
(2ρ+M)6
n2 =
16ρ4(M − (4.51)
2ρ)2
para ρ2 = x2 + y2 + z2. Estos resultados, concuerdan con las reportados en [20,48] usando el
tensor constitutivo y sus componentes.
Para observar las trayectorias de la luz, volvemos a resolver las ecuaciones geodésicas (4.39)
para esta métrica. En la figura 4.2 se muestran dichas soluciones.
Figura 4.2: Geodésicas nulas (rayos de luz) en la geometŕıa del espacio-tiempo de Schwarzs-
child. Donde la masa M representa una singularidad de la geometŕıa fuera de los ejes de
simetŕıa.
Los ejemplos previamente revisados, representan geometŕıas en las que el formalismo de la
métrica óptica puede ser empleado directamente. Sin embrago, existen diferentes geometŕıas
que podŕıan ser equivalentes a medios ópticos, en las que no se puede adquirir una métri-
ca óptica por medio de transformaciones conformes. Para estos casos podemos observar lo
siguiente:
Como se ha mencionado antes, de las ecuaciones (4.22) y (4.23) sabemos que la permitividad
y la permeabilidad son cantidades dependientes del observador. Consideremos un observador
que se mueve a una velocidad u y consideremos la métrica original del espacio-tiempo de
37
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Schwarzschild en coordenadas esféricas (4.42). En estas coordenadas podemos definir el ob-
servador que se encuentra en cáıda libre (observador inercial), a través de pedir que se mueva
con velocidad u = ∂t (llamado también observador estático o de laboratorio). En este marco
de referencia, las condiciones de compatibilidad, se deben reducir a la condición de impedancia
(ε = µ). Aśı, en términos de esta métrica y estas coordenadas, el medio equivalente puede ser
caracterizado por los tensores  
1 0 0
εαβ = µαβ
 0 1
= r(2M−r) 0  (4.52)
0 0 1
r sin2 θ(2M−r)
y efectos magnetoeléctricos nulos. Dado que estos tensores no pueden ser reducidos a escalares,
el ı́ndice de refracción definido como n2 = εµ no tiene contraparte tensorial (o matricial). Sin
embargo, podemos notar que dichos tensores son tensores del tipo (0, 2), los cuales, pueden
ser transformados a tensores del tipo (1, 1), de donde obtenemos representaciones matriciales
diagonales. Para la métrica de Schwarzschild(en las co)ordenadas esféricas originales tenemos
β β r
εα = µα = − δβα . (4.53)
2M r
que en coordenadas isotrópicas cartesianas corresponde directamente al término encontrado
en (4.51). Esto nos lleva a pensar que para un observador en “cáıda libre” que se mueve a
velocidad u = ∂t, el ı́ndice de refracción se puede calcular en las coordenadas originales como
n2 = εaµaa a (Sin usar la convención de suma) (4.54)
para un ı́ndice a fijo.
4.3. La geometŕıa de medios en movimiento
Una de las caracteŕısticas más importantes dentro del electromagnetismo, es que las medicio-
nes de los campo eléctrico y magnético dependen del observador y por tanto del marco de
referencia. Una carga estática no genera campo magnético para un observador estático en el
marco de referencia del laboratorio, pero esa misma carga se vuelve una corriente cuando el
observador que mide se mueve con respecto a ella. Dicho observador medirá campo magnético.
Alrededor de 1880, Röntgen [49] se dio cuenta que un medio inmerso en un campo únicamente
eléctrico medido por un observador estático, parećıa magnetizarse cuando éste (el medio) se
mov́ıa con respecto al marco del laboratorio. De la misma manera, existe una polarización
aparente del medio cuando el campo eléctrico se reemplaza por uno magnético. En ambos ca-
sos, las relaciones constitutivas resultantes para el medio en movimiento acoplaban los campos
magnético y eléctrico, en lo que hoy conocemos como los efectos magnetoeléctricos (ver [37] y
sus referencias para una descripción adecuada). Esta área del electromagnetismo se ha vuelto
muy activa en los últimos años en el campo de la ciencia e ingenieŕıa de materiales, debido a
que abre las puertas para poder controlar efectos electromagnéticos importantes. Un ejemplo
de esto, es la magnetización de un medio ferromagnético que rota por efecto de un campo
eléctrico externo [50]. En esta sección, calculamos las matrices de efectos magnetoélectricos
de medios simples, isotrópicos y homogéneos cuando se mueven con respecto al marco de
referencia estático.
38
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Consideremos un campo electromagnético externo y un medio material en movimiento. Asu-
miremos que el campo F es producido en el marco de referencia del laboratorio y calcularemos
el campo inducido G en el medio que mediŕıa un observador que se encuentre ‘montado” en el
medio. Encontraremos el tensor métrico del medio, transformando las coordenadas estáticas
a las del movimiento y por tanto del observador. Esta transformación inducida
φ :M−→M (4.55)
mapea la métrica del laboratorio (marco de referencia estático) al marco de referencia del
observador que se mueve junto con el medio
h = φ∗(g), (4.56)
coincidentemente, a este mapeo se le conoce como la métrica inducida por el mapeo φ. Todas
las expresiones geométricas en el lenguaje de formas diferenciales se preservan bajo este tipo
de transformaciones.
A continuación realizaremos ejemplos expĺıcitos de este hecho. Empezaremos por dos ejemplos
sencillos en marcos de referencia inerciales, correspondientes a una transformación Galileana
y otra Lorentziana del movimiento. Posteriormente, haremos ejemplos en marcos de referencia
no inerciales. Primero una rotación Galileana y otra relativista, para terminar finalmente con
un movimiento relativista acelerado. En todos los casos vamos a considerar el campo de la
2-forma F [cf. ecuaciones (3.42), (3.47) y (3.50)] tal que
B~ ~
lab = Bxê(x) +By ê(y) +Bz ê(z) y Elab = Exê(x) + Ey ê(y) + Ez ê(z). (4.57)
Movimiento inercial con transformación Galileana
Consideremos un medio que se mueve a lo largo del eje x con velocidad constante v. La
transformación de coordenadas asociada a estemovimiento está dado por la transformación
Gelileana
φ
x   x+ vt
y   y
=  (4.58)
z z
t t
Desde el punto de vista del laboratorio, el medio está descrito por la métrica en las coordenadas
adaptadas al movimiento
1 ( )
h = dx⊗ dx+ dy ⊗ dy + dz ⊗ dz + v (dx⊗ dt+ dt⊗ dx)− 1− v2εµ dt⊗ dt . (4.59)
εµ
Observemos que estas coordenadas, están bien definidas únicamente cuando
v2 1
< , (4.60)
εµ
esto significa, que la velocidad del medio es menor que a velocidad de la luz en dicho medio.
Las componentes vectoriales de los campos electromagnéticos en el medio en movimiento, me-
didas por el observador estático (marco de referencia del laboratorio) [cf. equaciones (3.121)-
(3.124)] son ( ) ( )
D~ lab = ε Exê(x) + Ey ê(y) + Ez ê(z) + εv Bz ê(y) −By ê(z) (4.61)
39
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
y
Bx 1 ( ) ( ) ( )
H~ lab = ê(x) + 1− v2εµ By ê(y) +Bz ê(z) + εv Ez ê(y) − Ey êµ µ (z) . (4.62)
De estas expresiones, podemos encontrar directamente las componentes de las relaciones cons-
titutivas (3.13) 
ε̄ = ε 1 0 0   
1 0 0
0 1 0 , µ̄−1 1
=  0 1− v2εµ 0  (4.63)
µ
0 0 1 0 0 1− v2εµ
y  
0 0 0
ζ̄ = ξ̄ = εv 0 0 1  . (4.64)
0 −1 0
Podemos notar que para la parte puramente eléctrica, el medio continua siendo homogéneo
e isotrópico, mientras que para el campo magnético, el medio parece ser anisotrópico en la
dirección ortogonal al movimiento. Además, aparecen efectos magnetoeléctricos dados por
las matrices ζ y ξ. Desde el marco de referencia del laboratorio, cuando el campo externo es
puramente eléctrico, se genera un campo magnético inducido perpendicular al movimiento que
rota alrededor del eje de movimiento. De la misma manera, cuando el campo externo aplicado
es puramente magnético, el campo eléctrico inducido tendrá las mismas caracteŕısticas que
su contraparte magnética. Dichos efectos, dependen de la velocidad de desplazamiento del
medio con respecto al marco del laboratorio, el cual satisface (4.60). Estos resultados son
consistentes con lo mencionado en lo expuesto en la literatura sobre electromagnetismo de
medios en movimiento, donde los efectos magnetoélectricos son caracterizados por un término
proporcional a ~v ×B~ para la parte eléctrica y ~v × E~ para la parte magnética.
Movimiento inercial con transformación Lorentziana
Al igual que en el ejemplo anterior, consideraremos un medio que se mueve a lo largo del eje
x. En esta ocasión, la transformación de coordenadas estará dada por una transformación de
Lorentz en donde tendremos consideraci
   (ones relativ)istas 
x  1− v2 −1/2
  ε0µ0 (x+ vt)
 y   
y
φ = ( )  (4.65)
z z
t − 2 −1/2
1 v ε0µ0 (t+ vx ε0µ0)
En este caso, la métrica del medio se transforma como
 
2 2
1− v2 ε0 µ0
εµ
h =  dx⊗ dx+ +dy ⊗ dy + dz ⊗ dz
1− v2 ε0µ(0 )
1− ε0µ0
εµ
+v
1− v2 ε0µ( (dx⊗ dt+) dt⊗ dx)
0
− 1 1− v2εµ
− dt⊗ dt. (4.66)
εµ 1 v2 ε0µ0
40
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
De nueva cuenta, esta métrica se encuentra bien definida cuando la condición (4.60) se satis-
face. Podemos observar que aún cuando (3.67) es una métrica de Minkowski, la velocidad de
la luz en el medio es diferente que en el vaćıo. De hecho
ε0µ0 ≤ 1, (4.67)
εµ
lo que corresponde a que la velocidad de la luz sea menor que en el vaćıo. Aún cuando el vaćıo
es invariante bajo las transformaciones de Lorentz, éstas cambian la métrica del medio.
El observador en el marco estático mediŕıa los siguientes campos electromagnéticos
 − 2 ε20µ
2
1 v 0 ( )
D~
εµ 
lab = εExê(x) + ε
( − E
2 ) y ê + Ez ê
1 v ε µ (y) (z)
0 0
1− ε0µ0
εµ ( )
+vε − Bz ê(y) −By ê(z) (4.68)
1 v2 ε0µ0
y ( )
~ 1 1 1− v2 εµ ( )
Hlab = Bxê(x) + ( − ) By ê(y) +Bz ê
µ µ 1 v2 ε µ (z)
0 0
1− ε0µ0
εµ ( )
+vε − Ez ê − Ey ê . (4.69)
1 v2 ε0µ
(y) (z)
0
El movimiento relativo entre el observador del laboratorio y el medio, hace que el material
tenga lassiguientes propiedades aparentes
 1 0 0  
 2 2 1 0 0
 1−v2 ε0µ0  1 2
ε̄ = ε 0 εµ 0  −1  0 1−v εµ 0 
1−v2 ε µ , µ̄ = 1−v2
0 0 µ ε0µ  (4.70)
0
2 2 2
1−v2 ε0µ0
εµ 0 0 1−v εµ
0 0 1−v2 ε0µ0
1−v2 ε0µ0
y ( ) 
1− ε0µ0  0 0 0
εµ
ζ̄ = χ̄ = vε − 0 0 1  . (4.71)
1 v2 ε0µ0 0 −1 0
Podemos observar que las matrices de permitividad y la permeabilidad se han vuelto an-
isotrópicas, mientras que las matrices de los efectos magnetoeléctricos presentan la misma
estructura que en el ejemplo anterior. En el ĺımite Galileano, podemos recuperar las relacio-
nes constitutivas del ejemplo anterior (4.63) y (4.64). Igualmente, en el ĺımite en el que la
velocidad de la luz en el medio coincide con la del vaćıo, el medio vuelve a ser isotrópico y
los efectos magnetoeléctricos desaparecen. Esto es muestra de la invariancia del vació bajo las
transformaciones de Lorentz.
A primera vista, esto pudiera parecer un mero ejercicio de relatividad especial. Sin embargo,
esto muestra que un medio en movimiento relativo adquiere propiedades electromagnéticas no
triviales, a diferencia de lo que se muestra en los otros movimientos inerciales. Esto no implica
que la f́ısica dependa de las coordenadas, sino que muestra que las relaciones constitutivas,
en el formalismo no covariante del cálculo vectorial de un medio simple cambian cuando el
medio presenta un movimiento relativo.
41
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Medio en movimiento uniformemente acelerado
Ahora consideraremos que el medio se mueve uniformemente acelerado. Este es el ejemplo más
sencillo de un movimiento no inercial. Supongamos que el movimiento sucede en el eje z con
una aceleración α, tal como si estuviera en cáıda libre en un campo gravitacional Newtoniano.
La transformación de coordenadas se puede escribir como
 
 x   [ ] (xφ y  
=  [ −1 ] √y
z √ (αε0µ0) + z cosh ε( ) − 
1  . (4.72)
0√µ0 αt −)(αε0µ0)
t ε0µ
−1
0 (αε0µ0) + z sinh ε0µ
−1
0 αt − (αε0µ0)
Estas coordenadas se acoplan al movimiento uniforme acelerado del observador. Sin embargo,
las coordenadas solo cubren un subespacio de M, conocido como “la cuña de Rindler”. La
métrica del[m(aterial ad)quiere una forma ]más compleja
√ − ε0µ0 − 1 − 1 √ √
h = ε0µ[0 1[( α)z ( sinh ( )ε0µ0 αt) cosh(( ε0µ0 αt))(d]z ⊗ dt+ dt⊗ dz)
εµ ε0µ0 εµ
− − ε0µ0
ε µ 1 α2 2
0 0 z − 1 1 1 1 1 √
2 + αz + − cosh ( ε0µ0 αt)
εµ ε0µ0 εµ ε0µ0 ] ε0µ0 εµ
− 1
[((1− αzε0
ε0µ0 )µ )2
0 dt⊗ dt+ dx⊗ dx+]dy ⊗ dy+
− ε0µ0 √ ε0µ0
+ 1 cosh2 ( ε0µ0 αt) + dz ⊗ dz.
εµ εµ
(4.73)
Para que la métrica esté bien definida, debe cum(plir una r)estricción más complicada, dada
por
2 √ ε µ −1
0 0
cosh ( ε0µ0 αt) < 1− (4.74)
εµ
Los campos i[n(ducidos medid)os por el observador en el marco del labo]ratorio serán
1− ε0µ0 ( )
εµ √ ε0µ0 1 ( )
D~ lab = ε [ ( cosh2 () ε0µ0 αt) + Exê + Ey ê
1 + αzε0µ0 εµ 1 + αzε0µ0
√ √ ] (x) (y)
√ 1 − ε0µ0 ( )
+ε 1 sinh ( ε0µ0 αt) cosh ( ε0µ0 αt) By ê
ε µ εµ (x) −Bxê(y)
0 0
εEz
+ ê
1 + αzε µ (z)
0 0
(4.75)
y ( )[( ) ]
~ 1 + αzε0µ0 εµ √ εµ ( )
Hlab = [ ( 1−) cosh2 ( ε0µ0 αt) + Bxê
µ ε µ ε µ ] ( (x) +By ê(y)
0 0 0 0
1 ε0µ0 √ √ )
+ε √ 1− sinh ( ε0µ0 αt) cosh ( ε0µ0 αt) Ey ê
ε µ εµ ( (x) − Exê(y)
0 0 )
1 + αzε0µ0
+ Bz ê(z). (4.76)
µ
42
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
En este caso, las relaciones constitutivas quedan de una forma mucho mas compleja que en
los ejemplos anteriores. En particular, podemos observar que el medio parece dejar de ser
homogéneo, ya que aparecen dependencias en la altura y el tiempo. Este resultado no es
sorprendente, ya que en esta ocasión los campos electromagnéticos inducidos son medidos en
un marco de referencia no inercial por un observador inercial. De hecho, podemos ver que si
α = 0, regresamos a un medio homogéneo e isotrópico.
Para poder adquirir un poco de intuición Newtoniana, consideremos el ĺımite de una acelera-
ción pequeña. Aśı, los∣ campos inducidos quedan c(omo
∣ )
D~ lab∣ √ = ε (1− αzε µ ) E ê + E ê + E ê
αt 1 0 0 x (x) y (y) z (z)
ε20µ
2
0 ( )
− ε0µ0 ( )
+εαt 1 By ê
εµ (x) −Bxê(y) (4.77)
y
~ ∣∣∣ 1 ( )
Hlab √ = (1 + αzε0µ0) Bxê(x) +B
 1 ( ) y ê
µ (y) +Bz ê(z)
αt
ε20µ
2
0
− ε0µ0 ( )
+εαt 1 Ey ê(x) − Exê(y) . (4.78)
εµ
En este ĺımite, el medio se vuelve isotrópico, pero se mantiene inhomogéneo. Mientras que
los efectos magnetoeléctricos son modulados por el cociente entre la velocidad de la luz en
el medio y en el vaćıo. Mientras menor sea la velocidad de la luz en el medio, mayores serán
los efectos magnetoléctricos. En el ĺımite cuando εµ = ε0µ0 i.e el medio en movimiento es el
vaćıo, el medio se vuelve nuevam(ente isotrópic)o sin efectos magnetoeléctricos, pero permanece
inhomogéneo: ∣∣ 1 ( )
D~ lab∣ = ε Exê(x) + Ey ê
1 + αzε µ (y) + Ez ê(z) (4.79)
vac 0 0
y ∣
H~
∣
lab∣ 1 ( )
= (1 + αzε0µ0) Bxê
µ (x) +By ê(y) +Bz ê(z) . (4.80)
vac
Este resultado es equivalente a pensar que el observador es quien se mueve de manera acele-
rada. En este sentido, aparece una polarización inhomogénea y una magnetización del vaćıo.
Medio en rotación con transformación Galileana
Consideremos ahora, un ejemplo de movimiento no inercial un poco más complicado. Supon-
dremos que el medio rota alrededor del eje z y haremos una transformación de coordenadas
Galileana. Partiremos de las métricas (3.64) y (3.67) en coordenadas ciĺındricas, esto es
η = dr ⊗ 1
dr + r2dϕ⊗ dϕ+ dz ⊗ dz − dt⊗ dt (4.81)
ε0µ0
y
g = dr ⊗ dr + r2dϕ⊗ 1
dϕ+ dz ⊗ dz − dt⊗ dt, (4.82)
εµ
respectivamente.
43
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
En estas coordenadas, la 2-forma electromagnética se escribe como
F =Erdr ∧ dt+ r2Eϕdϕ ∧ dt+ Ezdz ∧ dt
+ r (Bzdr ∧ dϕ− Eϕdr ∧ dz + Erdϕ ∧ dz) , (4.83)
donde
Er = Ey sin(ϕ) + Ex cos(ϕ) (4.84)
Eϕ = Ey cos(ϕ)− Ex sin(ϕ) (4.85)
y
Ez = Ez, (4.86)
mientras que
Br = Bx cos(ϕ) +By sin(ϕ), (4.87)
Bϕ = By cos(ϕ)−Bx sin(ϕ), (4.88)
(4.89)
y
Bz = Bz. (4.90)
Podemos verificar de forma directa que
ê(ϕ) ê
~ ~ (ϕ)
Elab = Erê(r) + Eϕ + Ez ê(z) y Blab = Brê(r) +Bϕ +Bz ê(z). (4.91)
r r
La transformación Galileana correspondiente a una rotación uniforme con una velocidad an-
gular constante ω, está dada por
   
φ
r
ϕ  r
  ϕ+ ωt =  (4.92)
z z
t t
La métrica del medio en movimiento se transforma como
h = dr ⊗ dr + r2dϕ⊗ dϕ+ r2(ω (dϕ⊗ dt+)dt⊗ dϕ)
⊗ 1
+dz dz − − r2ω2 dt⊗ dt . (4.93)
εµ
Las coordenadas para cubrir M deben satisfacer que
r2 1
ω2 < . (4.94)
εµ
Esta constricción está dada para satisfacer que la velocidad tangencial no supere la velocidad
de la luz en el medio. Lo(s campos inducidos son )
ê(ϕ) ( )
D~ lab = ε Erê(r) + Eϕ + Ez ê(z) + εrω Brê(z) −Bz êr (r) (4.95)
44
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
y
~ Bϕ ê(ϕ) 1 ( ) ( ) [ ]
Hlab = + 1− r2ω2εµ Brê(r) +Bz ê(z) + rεω Erê(z) − Ez ê(r) . (4.96)
µ r µ
Para obtener las matrices constitutivas como en los casos anteriores, transformamos a coor-
denadas cart(esianas ) [ ]
D~ lab = ε Exê(x + Ey ê(y) + Ez ê(z) − εω Bzxê(x) +Bzyê(y) − (Bxx+Byy) ê(z) (4.97)
y
1 [( ) ( ) ( ) ]
H~ 2 2 2 2 2 2
lab = 1− x ω εµ Bxê
µ (x) + 1−[y ω εµ By ê(y) + 1− r ω εµ Bz ê(z)]
−εω Ezxê(x) + Ezyê(y) − ((Exx+ Eyy) ê(z))
−xyω2ε By ê(x) +Bxê(y) (4.98)
Las relaciones constitutivas quedan como 
1 0 0
ε̄ = ε 0 1 0  , (4.99)
 0 0 1
 1− 
x2ω2εµ −xyω2εµ 0
µ̄−1 1
= −xyω2εµ 1− y2ω2εµ 0  , (4.100)
µ
0 0 1− r2ω2εµ
mientras que las matrices magnetoeléctricasestarán dadas por
0 0 x
ζ̄ = χ̄ = −εω 0 0 y 

. (4.101)
−x −y 0
Estas matrices constitutivas describen un medio con permitividad trivial, pero bastante com-
plejo en la permeabilidad. En este caso el medio es inhomogéneo y anisotrópico. Sin embargo,
esto sólo se nota a una distancia considerable del eje de rotación, esto es cuando la velocidad
tangencial se aproxima a la velocidad de la luz en el medio. Podemos observar también que
los efectos magnetoeléctricos no son despreciables para cualquier velocidad angular.
4.3.1. Medio en rotación con transformación relativista
Consideremos de nuevo al medio rotando. En este caso haremos una transformación de coor-
denadas con consideraciones relativistas para la rotación [51]. Para una velocidad angular ω,
existe un máximo de distancia R que nos podemos alejar del eje de rotación. Este valor, co-
rresponde al ĺımite superior de la coordenada radial, que hace que la velocidad tangencial sea
menor a la velocidad de la luz en el vaćıo. En este caso R es un parámetro de la métrica. Cada
valor de la pareja R y ω genera una métrica diferente. Estas coordenadas cubren únicamente
una región del espacio-tiempo de Minkowski, por lo que existe un horizonte para cada valor
de R y ω. Consideremos la transformación
   − 2 2 1 
 r   r(1 R ω ε
 0µ0) 2
 1 
ϕ   (ϕ− ωt)(1−R2ω2ε µ )− 2 
φ = 0 0  (4.102)
z z 
t t(1−R2ω2 1
ε0µ0) 2
45
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Como se puede notar en la literatura, existen muchos autores que afirman que esta no es la
única forma de describir un marco de referencia en rotación con consideraciones relativistas. De
hecho, este problema sigue abierto y cuenta con numerosas paradojas y problemas asociados.
Para nuestra(consideración,)la métrica inducida en el medio queda como
h = 1 +R2ω2ε0µ0 dr ⊗ dr + r[2dϕ⊗ dϕ+ r(2ω (dϕ⊗ dr)+]dt⊗ dϕ)
1 r2 ε0µ0
+dz ⊗ dz − −R2ω2 − dt⊗ dt. (4.103)
εµ R2 εµ
Podemos observar, que esta métrica cuenta con una estructura más compleja que las anterio-
res. Los parámetros R y ω deben satisfacer la restricción de que la velocidad tangencial no
exceda el valor de la velocidad de la luz en el vaćıo, esto es
R2 1
ω2 < . (4.104)
ε0µ0
Además, podemos observar que las coordenadas sól(o cubr)en la región donde
2 2 1 − 2 2 ε0µ0
r ω < R ω . (4.105)
εµ εµ
Dicho ĺımite puede ser pensado como la máxima velocidad tangencial que el medio podŕıa
soportar. Notemos que en el ĺımite en el que la velocidad tangencial Rω es justamente la
velocidad de la luz en el√vaćıo, la región se degenera a un punto. Sin embargo, en el ĺımite
no relativista R2ω2  1/ ε0µ0, la ecuación (4.103) se reduce al caso Galileano de la métrica
en rotación (4.103). Finalmente, en el ĺımite cuando ω desaparece recuperamos la métrica
estática (4.81), como era de esperarse.
Las componentes vectoriales de los campos electromagnéticos inducidos en el marco de refe-
rencia del laboratorio son [( ) ]
1 ê
~ (ϕ)
Dlab = ε [ E(rê(r) + Eϕ + Ez ê
1 +R2ω2ε µ r ) (z)
0 0 ]
1
+εωr Brê(z) − Bz ê (4.106)
1 +R2ω2ε (r)
0µ0
y [ ( )]
~ 1 r2 ε0µ0 ( ) Bϕ ê(ϕ)
Hlab = 1−R2ω2εµ − B ê +B ê +
µ R2 [ r z
ε(µ (r) ) (z) µ r]
1
+εωr Erê − Ez ê
1 +R2ω2ε µ (z) (r) . (4.107)
0 0
De nueva(cuenta, podem)os[e(xpresar estos cam)pos en coor(denadas cartesian)as ]
ε R2 R2
D~ lab = 1 + ω2y2ε µ( E ê + 1 + )ω2x2
0 0 x (x) ε0µ0 Ey ê
1 +R2ω2ε µ r2 r2 (x)
0 0
R2ε0µ0 ( )
[(+εE 2
z ê(z) − εω )xy E ê
( r2 y
(1 +R2ω2ε µ)) (x) + Exê(y)
0 0 ]
− 1
εω xB ê + yB ê − (xB + yB ) ê (4.108)
1 +R2ω2 z
ε (x) z (y) x y (z)
0µ0
46
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
y
1 [ ( ) ( ) ]
H~ = ω2εµ x2y2 4 2
lab [ ( − x )+ (1 +R ω2ε 2
0µ0 )x ]Bxêr2µ (x)
1
+( ω2εµ x2y2 − y4 + 1 +R2ω2ε µ y2 B ê
r2µ )[ ( 0 0 )] y (y)
1 1 2
+ (1− r2εµ 1− R ε0µ0
Bz ê
µ 1 +R2ω2ε µ )(r2 εµ (z)
0 0
R2 ε0µ0 )
[ −εω2(xy 1− ) B ê
( ) y
r2 εµ (x) +Bxê(y])
− − 1
εω xEz ê(x) + yEz ê(y) (xE + yE ) ê . (4.109)
1 +R2ω2 x y
ε (z)
0µ0
Este marco de referencia, nos lleva a observar propiedades electromagnéticas del medio alta-
mente no triviales. En particular, podemos ver que en todos los casos el comportamiento de
la parte magnética es significativamente diferente al comportamiento de la parte eléctrica. En
este ejemplo podemos notar que las matrices de efectos magnetoeléctricos no son iguales. De
hecho  
0 0 x
1+R2ω2ε0µ0 
ζ̄ = −εω 0 0 y
1+R2ω2  (4.110)
ε0µ0
−x −y 0
mientras que  
0 0 x
χ̄ = −εω 0 0 y  . (4.111)
−x −y 0
1+R2ω2ε0µ0 1+R2ω2ε0µ0
Como conclusión de esta serie de ejemplos, podemos destacar que un medio en reposo pue-
de tener propiedades electromagnéticas simples, pero si lo ponemos a moverse, el observador
estático mide propiedades no triviales. De esta manera, podemos pensar en un medio equi-
valente estático con las mismas propiedades electromagnéticas del medio en movimiento. El
formalismo para encontrar estas propiedades se expresa a partir de contracciones de mapeos
canónicos entre formas diferenciales y campos vectoriales, mostrando el poder del formalismo
geométrico. Esto nos permite obtener las componentes no covariantes de los campos inducidos
en R3 junto con las matrices de las relaciones constitutivas.
4.3.2. Medio óptico con geometŕıa no trivial
Uno más de los alcances de este formalismo, es poder trabajar con medios geométricamente
no triviales, i.e. un medio cuya métrica asociada tenga curvatura diferente de cero. En este
ejemplo trataremos con un medio geométricamente no trivial que ya ha sido estudiado antes
en el contexto de la óptica de transformaciones y gravedad análoga [52]. Consideremos un
lente tipo fisheye 3, medio óptico el cuál tiene una geometŕıa equivalente al del “Universo de
Einstein” (sección 4.2.1) [ ( ) ]
1 kΛ 4 2
gΛ = dx⊗ dx+ dy ⊗ dy + dz ⊗ dz − + x2 + y2 + z2 dt⊗ dt (4.112)
εµ 16 k
3ojo de pescado
47
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
donde k es una constante que representa la curvatura Gaussiana del espacio y Λ es la constante
cosmológica [53]. A diferencia de los ejemplos anteriores, esta geometŕıa no es plana. La
curvatura de este espacio queda completamente determinada por el escalar de Ricci
12
S = − 4 . (4.113)
k + x2 + y2 + z2
La métrica (4.112) está escrita en coordenadas isotrópicas cartesianas, lo que nos permite leer
de forma directa la velocidad efectiva de la luz en el medio [cf. ecuación (3.67)]. Tenemos aśı,
que el ı́ndice de refracción es
2 9kΛ εµ
n = . (4.114)
S2 ε0µ0
En este caso, la geometŕıa corresponde a un medio no homogéneo como se puede comprobar
con las componentes de los campos inducidos en el marco del laboratorio
~ 4ε
D ~
lab = ( )√ Elab = −1√S ε E~ lab (4.115)
4
k + x2 + y2 + z2 kΛ 3 kΛ
y ( )√ √
4
~ k + x2 + y2 + z2 kΛ 3 kΛ
Hlab = B~ ~
lab = − Blab. (4.116)
4µ µ S
Las matrices de permitividad y permeabilidad quedan como
  
1 0 0 √ 1 0 0
−1√S 3 kΛ
ε̄ = ε 0 1 0  y µ̄−1 = −  0 1 0  . (4.117)
3 kΛ µ S
0 0 1 0 0 1
Las transformaciones que hemos estudiado, nos proporcionan un modelo algebraico para en-
contrar tanto la métrica como los campos inducidos, que son un mero ejercicio de geometŕıa
diferencial. Como estas expresiones son libres de coordenadas, podemos asegurar que todas
las expresiones coordenadas son auto-consistentes con el formalismo. Consideremos la trans-
formación Galileana a un marco de referencia en rotación que realizamos en la sección 4.3.
En este marco los campos inducido[s medidos por el observa]dor en reposo quedan como
D~ lab =− 1√S ε E
3 kΛ
1 S [xê(x)(+ Ey ê(y) + E)z ê(z) ]
− √ ωε −Bz xê
3 (x) + yê(y) + (Bxx+Byy) ê(z) (4.118)
kΛ
y
√ [( ) ( ) ]
2 2 2
H~ − 3 kΛ S
= 1− ω2εµx2 S S
+ ω2(x2 + y2)εµ B − ω2
lab y εµxy Bx ê
µ (y)
√S [( 9kΛ ) 9kΛ ( ) ] 9kΛ
− 3 kΛ − S2 2
2 2 S 2
[ 1 ω εµx Bx]− ω εµxy By ê
µ√S 9kΛ 9kΛ (x)
− 3 kΛ − S2
1 2 2 2
[ ( ω (x + y )ε)µ Bz ê
µ S 9kΛ (z) ]
− 1√S ωε −Ez xê + yê + (Exx+ Eyy) ê . (4.119)
3 (x) (y) (z)
kΛ
48
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
De nueva cuenta, podemos leer directamente las matrices constitutivas para el medio en mo-
vimiento como las mediŕıa un observador el marco del laboratorio. Observamos que la matriz
de permitividad permanece igual que en (4.117), mientras que la matriz de permeabilidad se
convierte en
 
√ 2 2
 1− S ω2εµx2 S ω2εµxy 0
− 3 kΛ 9kΛ 9kΛ
1 − S2 2 S2
µ̄ = ω εµxy 1− ω2εµx2 + S2
ω2 
(x2 + y2)εµ 0  .
µ S 9kΛ 9kΛ 9kΛ
2
0 0 1− S ω2(x2 + y2)εµ
9kΛ
(4.120)
Observemos que los términos no triviales en esta expresión son cuadráticos en la velocidad
angular. Para velocidades tangenciales pequeñas comparadas con la velocidad de la luz en el
medio, la permeabilidad se reduce a la encontrada en (4.117).
Finalmente, al igual que la ecuación (4.101) en la sección 4.3,las matrices magnetoeléctricas
quedan como
0 0 −x
1 S
ζ̄ = χ̄ = − √ ωε 0 0 −y  . (4.121)
3 kΛ x y 0
En este ejemplo hemos obtenido, como era de esperarse, resultados similares a los obtenidos
en 4.3. Sin embargo, la curvatura juega un papel muy importante en las relaciones constituti-
vas. Este ejemplo nos permite observar la efectividad del formalismo para obtener expresiones
expĺıcitas de las matrices constitutivas de un medio en movimiento, en cualquier tipo de coor-
denada, para un marco de referencia arbitrario. Podemos observar que para un régimen de
velocidades bajas, el ı́ndice de refracción no se ve alterado a pesar de que los efectos magne-
toeléctricos no sean despreciables.
Usando los postulados de las relaciones constitutivas de Hodge hechas en el caṕıtulo anterior,
para caracterizar un medio [33] y las expresiones expĺıcitas para recuperar los campos vecto-
riales (en R3), medidos por un observador estático en el marco de referencia del laboratorio
(3.121) - (3.124), calculamos los campos electromagnéticos inducidos en medios homogéneos e
isotrópicos cuando éstos se encuentran en diferentes tipos de movimiento. Dichos movimientos,
están caracterizados en términos de la transformación de coordenadas actuando únicamente
sobre la métrica del medio. Los campos inducidos dados por G fueron calculados aplicando
la relación constitutiva de Hodge asociada a la métrica transformada, a la 2-forma “externa”
F sin transformar (3.118). El resultado, se contrae con la velocidad del marco de referencia
y usando el isomorfismo musical de la métrica del laboratorio obtenemos los campos desea-
dos. Una versión “similar” de un mezcla de métricas en aproximaciones vectoriales se puede
encontrar en las secciones 9-5 de [54].
Pudiera parecer que algunos esfuerzos anteriores han resultado exitosos para describir el elec-
tromagnetismo en medios en movimiento, tales como los hechos por [55, 56]. Sin embargo,
nosotros abordamos un problema diferente. En esta parte, mostramos de manera expĺıcita las
componentes de los campos electromagnéticos inducidos que mediŕıa un observador que se en-
cuentra en el marco de referencia estático cuando el medio se mueve de una forma arbitraria.
Hemos presentamos un método algebraico generalizado para obtener las matrices constitutivas
de medios arbitrarios en movimiento, medidas por un observador arbitrario. En particular, es-
ta herramienta nos sirve para poder calcular de manera completamente covariante, los campos
vectoriales inducidos en dichos medios. Este lenguaje se vuelve una herramienta poderosa para
materiales más complicados, como aquellos descritos por geometŕıas curvas, que se muevan
de forma arbitraria.
49
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
5. Geometŕıa de Contacto y Principio de Huygens
La óptica geométrica y el diseño de materiales, son temas de la f́ısica clásica que no pasan
de moda. La inserción de la geometŕıa diferencial como herramienta para poder modelar y
controlar la trayectoria de la luz en un medio óptico ha generado nuevos fundamentos en
la ciencia de materiales. Empezando en el contexto de las lentes gravitacionales, el estudio
geométrico de los principios de Fermat y Huygens ha tomado nuevamente una relevancia en
diferentes ramas de la f́ısica teórica.
Desde los principios de la Relatividad General, se ha observado que los campos gravitacio-
nales desv́ıan la trayectoria que sigue la luz. Esto fue confirmado por Eddington después de
notar que la posición aparente de las estrellas no coincid́ıa con su posición esperada al ser
observadas en un eclipse solar. Este fenómeno de desfasamiento, resulta ser análogo al que
sufre la luz cuando viaja en un medio con un ı́ndice de refracción que cambia en el espa-
cio. En este sentido, se ha mostrado que una clase de equivalencia de medios ópticos pueden
ser modelados en términos de un tensor métrico que codifica todas sus propiedades electro-
magnéticas [8, 9, 20]. Más aún, esta analoǵıa ha evolucionado en el muy activo campo de la
óptica de transformaciones, donde las técnicas y las herramientas de la geometŕıa previamente
usadas en el contexto gravitacional, han resultado útiles en el campo aplicado de la ciencias de
los materiales [26,57–59]. Aunado a esto, dicho concepto se ha utilizado para modelar medios
análogos gravitacionales, tales como agujeros negros y soluciones cosmológicas [29,48,60,61],
al igual que medios curvos, que con anterioridad se hab́ıan intentado aproximar por medio de
simplejos N -dimensionales [62].
En el ámbito de la óptica geométrica, el principio de Fermat es un problema bien conocido
para el cálculo de variaciones. En un contexto no relativista, donde el tiempo es absoluto y
universal, se plantea que la luz viaja de un punto a otro siguiendo la trayectoria que minimiza
el funcional del tiempo. Esta perspectiva del principio de Fermat, no tiene sentido en el
contexto relativista. En general se asume que la trayectoria de la luz al viajar de un punto a
otro es una geodésica nula del espacio-tiempo. En el mismo ámbito del cálculo de variaciones,
la postulación precisa del principio de Fermat con las consideraciones relativistas es mucho
más complejo que la suposición de una geodésica nula (ver Teorema 7.3.1 en [17]).
Similarmente con el principio de Huygens (cf. Teorema 7.1.2 in [17]), la interpretación se ha
centrado en la ‘instantaneidad”de la transmisión de la luz para diferentes observadores [63].
La emisión de luz se describe en términos de un frente de onda perfectamente bien localiza-
do en el espacio-tiempo mientras éste viaja en el espacio 3-dimensional. Nuevamente, en el
contexto relativista un evento electromagnético preciso en el espacio-tiempo debe depender
únicamente de las condiciones iniciales generadas en su propio cono nulo del pasado [64]. Esto
lleva a poder explorar fenómenos ondulatorios que no cumplen totalmente con el principio
de Huygens. La gran mayoŕıa de estos fenómenos que no cumplen cabalmente el principio de
Huygens se debe a procesos de disipación en donde las distribuciones de la onda no tienen
colas convergentes. Como consecuencia, los frentes de ondas no se encuentran bien localizados
en el espacio-tiempo. Con la conjetura de Hadamard, este fenómeno de “deslocalización”ha
sido relacionado con las dimensiones y la curvatura del espacio-tiempo [65], [66].
50
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
En años recientes, la geometŕıa de contacto se convertido en un marco matemático unificador
de diferentes teoŕıas f́ısicas. Como ejemplo, podemos observar la solidez matemática con la que
se han dotado la termodinámica, la mecánica clásica no conservativa y el electromagnetismo;
entre otras [10–16]. En particular, las herramientas geométricas han sido utilizadas en el
contexto de la óptica para mostrar de manera expĺıcita la equivalencia entre el principio de
Fermat y de Huygens [67].
En este caṕıtulo nos centraremos particularmente en la construcción y demostración del prin-
cipio de Huygens mediante geometŕıa de contacto. Empezaremos dando un breve recorrido
por los principales conceptos matemáticos, desde los preámbulos de ecuaciones diferencia-
les y su relación con la geometŕıa, pasando por algunos aspectos básicos de la geometŕıa de
contacto y algunas aplicaciones elementales. Finalmente, revisaremos de manera detallada la
construcción del principio de Huygens con esta herramienta.
5.1. Ecuaciones diferenciales y geometŕıa
Sabemos, a partir de la Relatividad General, que la luz al propagarse por medios no disper-
sivos, sigue como trayectorias curvas espećıficas llamadas geodésicas nulas [20], [68]. Estas
curvas dependen de las coordenadas del espacio, la conexión y la métrica con las que se dote
la variedad geométrica (M). Estas geodésicas están dadas por [69]
d2xµ ν
µ dx dxλ
+ Γ νλ = 0. (5.1)
dt2 dt dt
Cabe notar que tanto la conexión como la métrica no son estructuras intŕınsecas de la variedad
M . Éstas son impuestas con la finalidad de dar estructura geométrica más robusta y poder
aśı definir conceptos como paralelismo y distancia, conceptos básicos para la definición de
curvas geodésicas. De estas dos estructuras, la conexión es la más fundamental y de ella se
desprende el concepto de transporte paralelo. Dicho concepto permite generalizar aún más las
curvas geodésicas a partir de curvas autoparalelas. Una curva geodésica se puede encontrar
únicamente conociendo las coordenadas del espacio y los coeficientes de la conexión (i.e. Γµνλ)
como muestra la ecuación (5.1). Por otra parte, la métrica se relacionada con los coeficientes
de la conexión mediante [69]
µ 1
Γ = gµκνλ (∂νgλκ + ∂λgνκ − ∂κgνλ) . (5.2)
2
A partir de conocer las propiedades del medioi.e. la permitividad eléctrica ε y la permeabilidad
magnética µ (para materiales dieléctricos) [29], es posible encontrar las curvas (trayectorias)
que seguirá la luz, compatible con la teoŕıa electromagnética. Esto nos lleva a intentar plan-
tear el problema inverso, tanto en electromagnet́ısmo como en geometŕıa: Conociendo una
congruencia de curvas (trayectorias por donde se mueve, o quisiéramos que se moviera, la
luz), encontrar la geometŕıa para la cual esta congruencia es una congruencia geodésica. Plan-
teado el problema de esta manera, no sólo se vuelve un problema de carácter intŕınsecamente
geométrico, sino que además, dada la naturaleza de las ecuaciones (5.1), abarca también el
campo de las ecuaciones diferenciales. En esta primera sección del caṕıtulo, nos centraremos
en algunos aspectos de esta relación entre la geometŕıa y las ecuaciones diferenciales.
Supongamos que tenemos un sistema de coordenadas generalizadas x = (x1, ..., xn) y una
función y = u(xi). Las derivadas de las coordenadas las nombramos p, de tal forma que
51
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
∂u
p = = uxi . Una ecuación diferencial parcial de 1º orden, se puede escribir de forma
∂xi
general como una función F
F (x1, ..., xn, y, p1, ..., pn) = 0. (5.3)
Como ejemplo podemos pensar en la ecuación diferencial dada por
∂u
= 0, (5.4)
∂x1
la ecuación de Euler para un sistema dinámico
ut + uux = 0, (5.5)
o de particular interés, la ecuación(de la)“eiko(nal” q)ue describe la óptica geométrica
∂u 2 ∂u 2
+ = 1. (5.6)
∂x1 ∂x2
Consideremos una part́ıcula en movimiento libre. El sistema se puede describir a partir de un
campo de velocidades u(t, x) a lo largo de una ĺınea recta donde la part́ıcula satisface
x = ϕ(t) = x0 + vt (5.7)
para v la velocidad de la part́ıcula. En consecuencia, la función ϕ debe satisfacer
d2ϕ
= 0 (5.8)
dt2
que es exactamente la segunda ley de Newton. Por definición, podemos reescribir el campo
de velocidades como
dϕ
= u(t, ϕ(t)) (5.9)
dt
y observamos que
d2ϕ
= ut + uux = 0 (5.10)
dt2
es la ecuación de Euler. Podemos concluir que existe una equivalencia entre describir un
fenómeno de movimiento a partir de una ecuación para una part́ıcula – 2º ley de Newton – y
una de campo (ecuación de Euler) [70].
Para resolver el problema general de las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden,
es necesario estudiar dos estructuras geométricas que aparecen en la teoŕıa, útiles para inter-
pretar el problema. Dichas estructuras geométricas se conocen como estructuras de contacto
y simpléctica, respectivamente.
Sea M una variedad diferenciable con TM su haz tangente. Definimos un sub-haz ξ ⊂ TM,
C∞ con CoDim(ξ) = 1 (i.e. Dim(M)−1 ), como un campo de hiperplanos en TM. Definimos
de manera global, una 1-forma diferencial α dada por
α = dy − pdx. (5.11)
La 1-forma α nos genera la estructura de contacto y es conocida como la forma de contacto.
Además, esta 1-forma define el sub-haz ξ a partir de la ecuación kerα = ξ. Esto implica que
52
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
cada punto en M|α=0 tiene asociado un plano de la distribución ξ, conocido como plano de
contacto. Estos planos están dados por la ecuación
dy = pdx. (5.12)
A partir de la 1-forma de contacto, podemos definir una 2-forma ω como
ω = dα, (5.13)
que en coordenadas del espacio se puede escribir como
dα = −dpi ∧ dxi. (5.14)
Para cada plano de contacto en M dado por α = 0, la 2-forma ω define un producto interno
antisimétrico entre vectores del plano. Esto es, dados η, χ vectores en M|α=0,
ω[η, χ] = −ω[χ, η]. (5.15)
Este producto interno es no degenerado, lo que implica que para toda η =6 0, tenemos que
ω[η, χ] =6 0. La 2-forma ω es conocida como forma simpléctica. De manera geométrica,
podemos observar que la 2-forma simpléctica aplicada a un par de vectores sobre el plano de
contacto representa le área del paralelogramo definido por estos vectores.
Para trabajar con ecuaciones diferenciales, es necesario definir un espacio adecuado para ellas.
Definimos el espacio llamado k-Jet, como el espacio de los polinomios de Taylor de grado
k de las variables (x1, .., xn). Este espacio se denota Jk(Rn,R) ≈ R2n+1, que simplemente
abreviaremos como Jk. Observamos que para la ecuación diferencial (5.3), el argumento se
encuentra en J1 dado que es una ecuación de primer orden.
En el espacio Euclidiano de n dimensiones, definimos el k-complemento ortogonal del espacio,
como el subespacio de dimensión n−k tal que cada vector en ese subespacio es perpendicular
a cualquier otro vector en el subespacio k-dimensional (i.e el producto interno entre el vector
del espacio ortogonal es cero con cualquier otro vector del subespacio k-dimensional). Esto es
generalizable para cualquier variedadM, en particular para nuestras superficies simplécticas.
Sin embargo, debido a que la estructura simpléctica está definida por un producto interno
antisimétrico dado por la 2-forma simpléctica ω, cualquier vector es auto-ortogonal [71], esto
es:
ω[η, η] = −ω[η, η] = 0. (5.16)
En este sentido, el complemento ortogonal de un plano 2n− 1 dimensional en un espacio 2n
dimensional, es una curva 1-dimensional. Para el caso de un espacio simpléctico, supongamos
que la curva del complemento ortogonal puede ser generada por el vector ξ. Aśı, el hiperplano
del complemento ortogonal estará dado por {η : ω[η, ξ] = 0}, en particular por ω[ξ, ξ] = 0. En
el caso simpléctico, a diferencia del Euclidiano, el complemento ortogonal se encuentra en el
mismo plano.
Sea z en M|α=0, tenemos dos posibilidades al intersectar el plano de contacto con el plano
tangente a la superficie. La primera, es que ambos planos se intersecten en una curva de
dimensión 1. La segunda es que se intersecten en todos los puntos (y por tanto seŕıan el mismo
plano). Llamaremos z regular cuando pase lo primero e irregular cuando pase lo segundo.
Para cada punto z regular, definimos una dirección caracteŕıstica en un plano de contacto,
como el complemento ortogonal antisimétrico a la intersección del plano de contacto con
53
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
el plano tangente a la superficie Γ. A la curva integral de las direcciones caracteŕısticas le
llamamos curva caracteŕıstica.
A continuación, podemos realizar algunos ejemplos sencillos, pero ilustardores. Consideremos
(x, y, p) las coordenadas en TzJ
1. El vector caracteŕıstico debe ser tangente al espacio V 2n
Fxẋ+ Fyẏ + Fpṗ = 0. (5.17)
Sabemos que el vector caracteŕıstico debe ser parte del plano de contacto dado por
ẏ = pẋ. (5.18)
Entonces, para la intersección entre el plano de contacto y el plano tangente T J1
z ∩K2n
z se
debe cumplir que [70]
(Fx + Fyp)ẋ+ Fpṗ = 0, (5.19)
La pareja (x, p) puede ser considerada las coordenadas del plano de contacto. Para el caso
n = 1, consideremos dos vectores tangentes η = (ẋ, ẏ) y ξ = (x̃, ỹ). El producto interno entre
estos dos vectores será
dx ∧ dp (η, ξ) = ẋp̃− x̃ṗ. (5.20)
De (5.19) obtenemos
(Fx + Fyp) ẋ+ Fpṗ = 0. (5.21)
Podemos observar que el vector tangente será
p̃ = Fx + Fyp (5.22)
x̃ = Fp, (5.23)
complemento ortogonal antisimétrico del espacio K2n−1. El campo de direcciones del campo
vectorial dado por
p̃ = −(Fx + Fyp) (5.24)
x̃ = Fp (5.25)
ỹ = pFp (5.26)
será entonces una caracteŕıstica. El campo está determinado por la misma función F . Ahora,
supongamos que F es independiente de y, esto es ( )
∂u
F = F (x, p) = F x, . (5.27)
∂x
El campo caracteŕıstico adquiere la forma
x′
∂F ∂F ∂F
= , p′ = − y y′ = p = 0. (5.28)
∂p ∂x ∂p
A este tipo de funciones F se les denomina Hamiltonianas y se expresan como H(x, p).
Consideremos un ejemplo particular de estos casos. Tomemos
p2 − 1
H = . (5.29)
2
En este caso tenemos que
x′ = p, p′ = 0. (5.30)
54
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Para las funciones Hamiltonianas, en gener(al se)cumple que H(x, p) = 0, entonces
2
p2 ∂u
= = 1. (5.31)
∂x
Las ecuaciones (5.30) describen el movimiento de part́ıculas en ĺınea recta a velocidad cons-
tante. Ecuación (5.31) es la ecuación eikonal (ver (5.6)) que describe el movimiento de los
rayos de luz de la óptica geométrica. [70]
5.2. Conceptos básicos de geometŕıa de contacto
Expuesta la relación entre la geometŕıa diferencial y las ecuaciones diferenciales de manera
natural aparecen las ecuaciones que describen las trayectorias de los rayos de luz en la óptica
geométrica. En esta sección empezaremos a revisar y trabajar conceptos básicos de geometŕıa
diferencial, particularmente la geometŕıa de contacto, que se utilizarán a lo largo del trabajo.
Consideremos M una variedad diferencial “suaveçon dimensión 2n+ 1. Sea α una 1-forma
definida de manera global enM 1. La 1-forma α, llamada forma de contacto, define un campo
de hiperplanos de codimensión 1 dado por ξ = ker(α), la cual será maximalmente no integrable
(i.e. no existe una variedad diferencial tal que esta distribución de planos sea tangente a dicha
variedad en cada uno de sus puntos.) En términos de la forma de contacto, esta propiedad se
puede expresar como
α ∧ (dα)n =6 0, (5.32)
lo que significa que la forma de volumen no se anula en ningún punto de la variedad [72].
Es importante mencionar que la estructura de contacto es generada por una clase de equi-
valencia de 1-formas {α ∈ Ω1|α ∼ fα} para f una función continua no nula sobre M. La
propiedad de no integrabilidad no depende de la elección particular de la 1-forma de contacto.
A la pareja (M, ξ) se le conoce como una variedad de contacto. Dada una variedad de con-
tacto, podemos definir un campo vectorial llamado campo de Reeb asociado a la 1-forma de
contacto α 2 que denotaremos Rα. Este campo vectorial se define a partir de la 2-forma dα,
la cual es antisimétrica y de rango maximal 2n, lo que implica que dα|TpM tenga un kernel
1-dimensional para toda p ∈M. Por tanto, el campo de Reeb se define como
dα(Rα, ·) ≡ 0. (5.33)
La condición de no integrabilidad de la distribución de contacto (5.32) implica que el campo
vectorial de Reeb se encuentra bien definido en todo el espacio. Podemos renormalizar el campo
de forma que α(Rα) ≡ 1. El campo vectorial de Reeb es perpendicular a la distribución ξ y
por ello, también se le conoce como la dirección perpendicular de la distribución.
5.2.1. Mecánica clásica con conceptos de geometŕıa de contacto
Con las bases y fundamentos de la geometŕıa de contacto, podemos comenzar a trabajar
conceptos e ideas importantes de la geometŕıa de contacto, en conjunto con la simpléctica,
abordados desde la perspectiva de la mecánica clásica. Dichos conceptos se irán generalizando
1No es necesario que α esté definida de manera global. Sin embargo esta propiedad será fundamental más
adelante en la co-orientabilidad del campo de planos definidos por su kernel.
2El campo vectorial de Reeb śı depende de la elección espećıfica de la 1-forma de contacto.
55
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
para aplicarlos en le contexto del electromagnetismo.
Partiremos del formalismo Hamiltoniano de la mecánica clásica, el cual se desarrolla en una
variedad diferencial conocida como la variedad de configuraciones del sistema y denotaremos
esta variedad como B. El espacio cotangente T ∗B se conoce como espacio fase del sistema.
Podemos definir una 1-forma diferencial λ en T ∗B dada por
λu = u ◦ Tπ (5.34)
para u ∈ T ∗B y Tπ : TT ∗B → T ∗B la proyección canónica. A la 1-forma λ se le conoce como
forma de Liouville. Podemos dotar a B con coordenadas locales ~q = (q1, ..., qn) y a la fibra
en T ∗B con coordenadas p~ = (p1, ..., pn). Aśı, la forma de Liouville se escribe en coordenadas
como ∑n
λ = pjdqj . (5.35)
j=1
Una de las propiedades más interesantes de la forma de Liouville, es que cualquier otra 1-
forma τ en B se puede escribir como τ = τ∗λ. Observemos que T ∗B tiene una estructura
simpléctica natural, dada por la 2-forma simpléctica ω = dλ.
Consideremos ahora una variedad simpléctica (M, ω) y una función diferencial H :M→ R.
Existe entonces un único campo vectorial XH llamada campo vectorial Hamiltoniano que
cumple
ω(XH , ·) = −dH. (5.36)
Además, se cumple que dH(XH) = 0 lo que indica que el flujo del campo Hamiltoniano
“preserva” las superficies de nivel de H. El flujo del campo Hamiltoniano induce las ecuaciones
de Hamilton que describen la mecánica de un sistema f́ısico.
Sea (M, ω) una variedad simpléctica, podemos definir un campo vectorial Y dado por LY ω =
ω llamado campo de Liouville. Con este campo, podemos definir una 1-forma
α = iY ω = ω(Y, ·) (5.37)
que resulta ser de contacto para una hipersuperficie Γ transversal al campo vectorial Y (i.e.
el campo Y nunca es tangente a la hipersuperficie Γ.) A la hipersuperficie Γ se le conoce como
una hipersuperficie de contacto. En coordenadas locales podemos escribir
∑n
Y = pi∂pi . (5.38)
i=1
Como se puede observar, el campo de Liouville es radial a la dirección de la fibra.
Consideremos ahora una subvariedad M⊂ T ∗B. Si M cumple con
1. Ser hipersuperficie de tipo de contacto, esto es que admite una 1-forma de contacto
α = iY ω para un campo vectorial Y de Liouville; y
2. Es una superficie de nivel de una función Hamiltoniana H : T ∗B → R
entonces el flujo del vector de Reeb Rα (definido como el campo vectorial tal que α(Rα) = 1 y
dα(Rα, ·) = 0) es una reparametrización del flujo Hamiltoniano. En este sentido, dα = ω tiene
un kernel de 1 dimensión, por lo que iRαdα|TM = 0, y también iX ω|TM = −dH|TM = 0.
H
56
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
5.2.2. Flujos geodésicos
En conexión con la geometŕıa de contacto y los conceptos mecánicos establecidos, podemos
desarrollar teoŕıa elemental relacionada con los flujos geodésicos. Dichos flujos están ı́ntima-
mente relacionados con el principio de Huygens y serán de vital importancia a lo largo del
trabajo.
Sea B una variedad Riemanniana con métrica g. Existe un campo vectorial G único en TB
tal que sus trayectorias (curvas integrales) están dadas por
t→ γ̇(t) ∈ Tγ(t)B ⊂ TB (5.39)
para γ(t) una geodésica en B. Se puede definir un isomorfismo ψ entre haces tangente y
cotangente dado por
ψb :T B → T ∗b b B (5.40)
x −7 → gb(X, ·). (5.41)
Este isomorfismo induce también una métric(a g
∗ en el haz cot ∗
∗ − − )angente T B
gb (u1, u
1 1
2) = gb ψ (u1), ψ (u2) , (5.42)
para u ∗
1 y u2 ∈ T B. Dado este isomorfismo entre haces, definimos el haz tangente unitario
STB dado por la fibra
STbB = {X ∈ TbB/g(X,X) = 1}. (5.43)
Del mismo modo, definimos el haz cotangente unitario ST ∗B
ST ∗b B = {X ∈ T ∗ ∗
b B/g (X,X) = 1}. (5.44)
Para una geodésica γ en B, podemos observar que si |γ̇| = cte, se tiene que
d
g (γ̇, γ̇) = 2g (∇γ̇ γ̇, γ̇) = 0. (5.45)
dt
Esto muestra que el flujo del campo vectorial geodésico G preserva la estructura en STB y
por tanto, es tangente a STB. Para una variedad Riemanniana (B, g), podemos notar que
para este tipo de flujos:
1. La 1-forma λ de Liouville en T ∗B, induce una forma de contacto en el haz unitario
ST ∗B. El flujo del campo vectorial de Reeb Rλ es dual al flujo geodésico del campo
vectorial G, en el sentido
Tψ(G) = Rλ. (5.46)
2. Si H una función Hamiltoniana H : T ∗B → R definida como H(u) = 1 ∗
2g (u, u) y
consideramos que ST ∗B es una hipersuperficie de nivel de la función Hamiltoniana
(i.e ST ∗B = H−1(2)) entonces, el flujo del campo de Reeb Rλ es equivalente (salvo
escalamientos) al flujo hamiltoniano dado por H a lo largo de ST ∗B.
57
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
5.2.3. Elementos de contacto y transformaciones de contacto
Uno de los conceptos centrales de las estructuras de contacto, son los elementos de contacto.
Antes de definirlos, expondremos un ejemplo sencillo, con la idea de generalizarlo y encontrar
de manera natural, la definición de estos elementos de contacto.
Supongamos M = R2. Todo punto en R2 está caracterizado por un par de coordenadas, en
el caso de las coordenadas cartesianas, estas serán (x, y). Por cada punto (x, y) ∈ R2 pasan
una infinidad de rectas. Una recta en particular, que pasa por un punto estará definida por
la ecuación diferencial
dy − p dx = 0 (5.47)
en donde consideramos a p como la dirección de la recta tal que p ∈ R 3. Cada pareja generada
por un punto y una recta que pasa por dicho punto en R2, le llamaremos elemento de
contacto de R2. Podemos observar que este elemento lo podemos caracterizar por tres datos
únicamente ((x, y), p). Dada p, la recta que pasa por el punto queda fija y es única. Observemos
que estos elementos de contacto en R2 los podŕıamos asociar a puntos en R3, dados por las
coordenadas (x, y, p). Aśı, cada elemento de R3 = R2 × R representa en R2 un elemento de
contacto. Definimos la 1-forma α como
α = dy − pdx. (5.48)
Aśı, la (5.47) queda definida como el kernel de α. Esta idea es generalizable para n di-
mensiones. Sea Bn+1 una variedad diferencial suave y sea b ∈ B un punto con coordenadas
b = (x1, ...xn, y), definimos un hiperplano de B de codimensión 1
∑n
dy − pidx
i = 0. (5.49)
i=1
Definimos entonces un elemento de contacto en B como la pareja del punto b ∈ M y al
hiperplano V ⊂ TbB dado por (5.49). Definimos la 1-forma de contacto αV : TbB → R como
∑n
αV = dy − pidx
i, (5.50)
i=1
y por tanto V = ker(αV ). La familia de elementos de contacto que tienen como punto “base”
b forman el espacio proyectivo cotangente de B en b, PT ∗b B. El espacio de todos los elementos
de contacto en B, forman la variedad del haz de contacto PT ∗B de dimensión (2n − 1), que
se puede ver como Bn+1 × RPn−1 [67].
De manera natural, podemos definir sobre B un espacio de elementos de contacto co-
orientados M, el cuál cumple con un rol fundamental para dotar de estructura a nuestra
variedad de contacto. Dado un elemento de contacto (b, V ), la elección V ∈ TbB puede ser
arbitraria. Sin embargo, podemos elegir una serie de elementos de contacto particulares, eli-
giendo planos “coorientados”. Esto significa poder distinguir un vector normal “positivo”.
Para elegir estos planos coorientados, usaremos en concepto de flujo geodésico. Si γ una curva
geodésica en B, podemos escoger para cada punto b ∈ B el plano que sea normal al vector
γ̇(t0) y que γ(t0) = b. Aśı, estos planos se encuentran coorinetados por la velocidad de la
curva geodésica que pasa por el punto b.
3En realidad p ∈ RP 1 debido a que la recta podŕıa ser vertical y eso implicaŕıa que la pendiente p fuera
infinita. Para poder considerar ese caso, es necesario recurrir al plano proyectivo.
58
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Por tanto, podemos identificarM con la variedad generada por el haz tangente unitario STB
asociando, en vez del plano de contacto, el vector normal positivo a éste 4. De esta forma
tenemos la identificación
(b, V )→ (b,X~ ) (5.51)
donde X~ es el vector normal positivo al plano V . En el caso particular de los flujos geodésicos,
construiremos la identificación con γ̇ para γ geodésica en B. Con esta identificación, λ define
una estructura de contacto natural en M y por tanto en STB (Figura 5.1)
Figura 5.1: Identificación natural entre el espacio de elementos de contacto coorientados M
y el haz tangente unitario STB y cotangente ST ∗B.
Una vez definidos la estructura y los elementos de contacto, podemos definir difeomorfismos de
la variedad en ella misma. En particular, es de interés encontrar el conjunto de difeomorfismos
que mantengan la estructura de contacto invariante. Estas transformaciones toman relevan-
cia dado que conservan la estructura geométrica de la variedad. Estas transformaciones son
conocidas como transformaciones de contacto.
Definimos una transformación de contacto como aquella transformación φ : PT ∗B →
PT ∗B, tal que la estructura de contacto no cambia. Esto es
φ : (x1, ..., xn, p1, ..., pn, y) 7→ (x̃1, ..., x̃n, p̃1, ..., p̃n, ỹ) (5.52)
donde ∑ ( ∑ )
n n
dy − p i
idx = ρ dỹ − p̃ i
idx̃ , (5.53)
i=1 i=1
4De la misma manera podŕıamos hacerlo con ST ∗B, usando el isomorfismo entre espacios generado por la
métrica.
59
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
para ρ : R2n+1 → R una función escalar distinta de cero. El caso particular en que ρ = 1 se
conoce como transformación estrictamente de contacto.
Para toda variedad diferencial Bn, podemos construir una estructura de contacto llamada
estructura tautológica. Esta estructura siempre existe (sin importar la dimensión de la va-
riedad original) y es única. Para esto, debemos considerar la variedad auxiliar M = PT ∗B
con dimensión 2n− 1. Como la variedad M es de dimensión impar, podemos establecer una
estructura de contacto de la manera usual. Definimos una 1-forma de contacto α y la distri-
bución de hiperplanos ξ dados por ξ = ker(α) ∈ TM = T (PT ∗B). Tomemos la proyección
canónica π del haz a la variedad π : PT ∗B → B y consideremos un punto u ∈ PT ∗B tal que
π(u) = b para b ∈ B. Encontramos el elemento de contacto en b dado por la proyección del
hiperplano ξu = ker(α|u). Aśı, el elemento de contacto será el hiperplano π∗ξu ∈ Tπ(u)B = TbB
definido por u (figura 5.2). Usando este método, tenemos una forma canónica para encontrar
elementos de contacto en una variedad sin importar su dimensión.
Figura 5.2: Construcción de la distribución tautológica de contacto.
Supongamos ahora, que tenemos una variedad Riemanniana (B, g). Definimos un mapeo tem-
poral de un flujo geodésico φt para cada t ∈ R como difeomorfismo de STB en STB. Para
ello usaremos el espacio de elementos de contacto. SeaM el espacio de elementos de contacto
(coorientados) de B, entonces el mapeo φt del flujo geodésico se puede escribir como
φt(b0, V0) = (γ(t), V (t)) (5.54)
donde γ es una geodésica en B, b0 = γ(0) el punto que consideraremos inicial en la geodésica
V0 = es el plano dado por el vector normal (positivo) γ̇(0). γ(t) es el punto en la geodésica al
tiempo t y V (t) ∈ Tγ(t)B es el plano definido por el vector normal γ̇(t). En este sentido φt es
una transformación de contacto que define el flujo geodésico. Aśı, podemos observar que se
cumple
φt (γ(0), γ̇(0)) = (γ(t), γ̇(t)) . (5.55)
60
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
5.3. El principio de Huygens y la propagación de frentes de
ondas
El principio de Huygens es uno de los conceptos más importantes que se puede abordar desde
la teoŕıa de propagación de ondas. Este principio, llamado aśı en honor a Christiaan Huy-
gens, explica el fenómeno de la difracción de una onda cuando pasa por una rendija. La idea
fundamental radica en pensar que la onda se propaga a través de una superficie geométrica
denominada frente de onda. Cada uno de los puntos de este frente de onda son a su vez,
fuentes de nuevos frentes de ondas, llamados frentes u ondas secundarias. Los frentes secun-
darios pueden generar interferencia entre ellos, produciendo los patrones de difracción. En
este proceso, el frente de onda original evoluciona en el tiempo como la curva envolvente de
todos las ondas secundarias individuales. En esta sección, usaremos la herramienta geométrica
desarrollada para modelar la propagación de una onda en un medio y daremos los elementos
básicos de la geometŕıa de contacto, que nos permitirán construir y demostrar el principio de
Huygens de manera formal [73].
Consideremos el espacio-tiempo como una variedadMn+1 = Bn×R donde la variedad Bn re-
presenta el espacio f́ısico y la fibra R jugará el papel de tiempo. Para cada punto de la variedad
B (Riemanniana) tenemos una colección de todas las posibles soluciones de movimiento para
un objeto que se mueva con velocidad ~v unitaria. Cada una de estas soluciones representa una
“curva”sobre B. A la colección de todas estas curvas (soluciones a ecuaciones diferenciales de
movimiento) le llamaremos la gráfica de posibles movimientos. La gráfica se puede representar
como una función q : R→ B para |~v| = 1. En cada punto de B se genera un “cono”de posibles
velocidades (direcciones), cada una de ellas tangente a las curvas que forman la “gráfica”de
posibles movimientos. Dicho cono está descrito por la ecuación ||dq|| = |dt|, donde ||dq|| re-
presenta la norma del vector espacial de coordenadas. Si suponemos n = 2 en coordenadas
cartesianas, entonces tenemos
dx2 + dy2 = dt2. (5.56)
Este cono, define una métrica Lorentziana y podemos decir que M tiene un campo de conos
Lorentzianos. De manera genérica, el campo de “conos de posibles velocidades”genera una
hipersuperficie en la variedad de los elementos de contacto (PT ∗B) llamada superficie de
Fresnel [70] . La estructura tautológica de contacto dada por PT ∗B genera una condición
sobre la velocidad llamada condición de patinaje (skate condition). Esta condición implica,
que el movimiento en un elemento de contacto que se encuentra en el plano de la trayectoria,
tiene la libertad de rotar sobre su propio eje o moverse en la dirección definida por él mismo
(elemento de contacto), pero se resiste a cualquier movimiento en dirección perpendicular.
Consideremos ahora un medio óptico, dado por una variedad Riemanniana (B, g). Esta varie-
dad describe el medio óptico en el sentido que las geodésica en B con respecto a la métrica
g corresponden a “rayos”de luz en un śımil mecánico. Tomamos el espacio de elementos de
contacto coorientados y lo reescalamos para que tengan norma unitaria. A esto se le conoce
como ST ∗B haz cotangente unitario o esferificación del espacio cotangente. En este espacio
existe un flujo geodésico dual, bajo la métrica g, al flujo en STB. Este flujo geodésico se puede
definir como una transformación dada por
Φ(b ,V )(t) = (γ(t), V (t)) , (5.57)
0 0
donde γ(t) es una curva geodésica en B y V (t) ∈ TB. La curva geodésica comienza en b0 = γ(0)
y V0 ∈ Tb0B coorientado, de tal forma que la pareja (b0, V0) es un elemento coorientado de
61
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
contacto, y V (t) ∈ Tγ(t)B. Debido a que V (t) es coorinetado, podemos definir una dirección
perpendicular positiva. Dicha dirección es tangente a la geodésica γ(t). Aśı, los hiperplanos se
encuentran coorinetados por γ′(t). El principio de Huygens es equivalente a decir que el flujo
geodésico previamente mencionado consiste en transformaciones de contacto. A continuación
escribimos una pequeña prueba de este hecho.
Tomemos (B, g) una variedad Riemanniana. Existe un único campo vectorial en el haz tangente
TB, tal que sus trayectorias están dadas po(r )
t→7 γ(t), γ′(t) (5.58)
para γ curva geodésica en B. Este campo vectorial es conocido como campo geodésico y su
flujo se denomina flujo geodésico. Definimos la 1-forma λ ∈ T ∗B. Si suponemos coordenadas
generalizadas (q1, ...qn, p1, ..., pn) entonces λ adquiere la forma local escrita como (5.35). Se
puede observar que λ induce una estructura de contacto natural en la variedad del haz de
contacto ST ∗B. Definimos un campo vectorial Y en T ∗B dado por iY ω = λ, para ω = dλ
2-forma cerrada. Calculamos la derivada de Lie de la 2-forma ω a lo largo del campo vectorial
Y , esto es LY ω, que por la identidad de Cartan podemos escribir como
LY ω = (d ◦ iY ) (ω) + (iY ◦ d)(ω) = ω. (5.59)
Dado que en coordenadas locales λ se escribe como (5.35), podemos observar expĺıcitamente
que el campo vectorial Y se escribe como (5.38). Este campo resulta ser radial en la dirección
de la fibra (PTB) y transversal al haz tangente unitario ST ∗B. Por tanto, λ es una forma de
contacto en ST ∗B.
Mostraremos que el flujo del campo de Reeb asociado a la 1-forma de contacto λ, coincide
(salvo un factor de proporcionalidad) con el flujo geodésico en el haz tangente unitario, bajo
la identificación canónica entre ST ∗B y STB dada por la métrica g.
Sabemos que el flujo geodésico es el generado por el campo xH para H(u) = 1g∗2 (u, u).
Además ST ∗B es una superficie de nivel de H y el campo vectorial de Liouville se puede
escribir localmente como (5.38) (cf. sección 5.2.2) entonces ST ∗B es una variedad de contacto
con la 1-forma de contacto dada por
α = ιY ω|ST ∗B = λ. (5.60)
De manera clara se cumple que
ιxHdλ = ιxHω = −dH(xH) = 0 (5.61)
por tanto
xH |ST ∗B = ΩRλ (5.62)
para Ω un factor de proporcionalidad.
Podemos concluir que el flujo de Reeb Rλ coincide con el flujo geodésico (módulo rescala-
mientos). Observemos ahora que el flujo de Reeb para cualquier 1-forma de contacto α está
dado por
LRαα = 0 (5.63)
por lo que podemos deducir que la forma de contacto α se mantiene invariante bajo el flujo del
Reeb. Esto implica que bajo una transformación, la forma de contacto permanece invariante.
62
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Aśı, el flujo del Reeb está dado por una transformación estricta de contacto. Dado que hemos
demostrado que el flujo del Reeb y el flujo geodésico coinciden y que el flujo de Reeb está
dado por una transformación estricta de contacto, podemos concluir que el flujo geodésico
es equivalente a una transformación de contacto. Esto muestra el enunciado del principio de
Huygens.
5.3.1. Frentes de onda y subvariedades isotrópicas
De manera tradicional, podemos estructurar el principio de Huygens como sigue. Supongamos
un medio material en donde se genera y se propaga una onda radial en el punto b0. Llamamos
frente de onda al espacio geométrico dado por todos los puntos sobre en el medio que puede
alcanzar la onda en un tiempo determinado t1. Al frente de onda centrado en b0 al tiempo
t1lo denominamos Fb0(t1). Cada punto b1 ∈ Fb0(t1), será una nueva fuente de ondas radiales
secundarias que generarán su propio frente de onda para un tiempo t, denotado por Fb1(t).
El concepto medular del principio de Huygens establece que el frente de onda al tiempo t1 + t
denotado como Fb0(t1 + t), será la envolvente de los frentes de onda secundarios Fb1(t).
Figura 5.3.
Figura 5.3: Representación gráfica del principio de Huygens. La onda evolucionada Fb0(t1 + t)
es la envolvente de todas las ondas secundarias generadas en el frente de onda original en un
tiempo anterior t
De manera más formal, definimos un frente de onda denotado por Fb0(t) como el lugar
geométrico de los puntos b tales que existe, de manera local, una geodésica de velocidad uni-
taria constante γ ∈ B en donde γ(0) = b0 y γ(t) = b para t 1. A esa hipersuperficie en B la
llamamos el frente de onda al tiempo t centrada en el punto b0 como se muestra en el diagrama
de la figura 5.4. En general, dependiendo de la geometŕıa del espacio, esta hipersuperficie será
difeomorfa a una esfera. Si la geometŕıa (el medio) es homogénea e isotrópica, entonces el
frente de onda será realmente una esfera Sn.
Sea (M, ξ) una variedad de contacto (i.e. ξ es una distribución planos dados por kernel de
1-forma de contacto). Sea L una subvariedad de M, decimos que L es isotrópica si
TpL ⊂ ξp, ∀p ∈ L. (5.64)
Esto quiere decir que para cada punto en la subvariedad L, el espacio tangente se encuentra
contenido en la distribución de contacto ξ en ese punto. Podemos observar que si la dimensión
de la variedad M es 2n + 1 la dimensión máxima que puede tener L es n, debido a que el
espacio tangente TpL en cada punto el punto p ∈ L tendŕıa dimensión 2n, misma dimensión
63
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Figura 5.4: Esquema de un frente de onda Fb0(t) para t 1
de los hiperplanos de la distribución de contacto ξ. A las subvariedades isotrópicas tales
que dim(L) = n se les conoce como subvariedades de Legendre. Cabe destacar que dichas
subvariedades de Legendre son las subvariedades integrales de mayor dimensión que admite
la variedad.
Consideremos una vez más el espacio de elementos de contacto STB identificado con la es-
tructura de contacto natural dada por la 1-forma de Liouville. Podemos definir en este espacio
una proyección del haz en la variedad base B
π :STB → B (5.65)
(b,X~ ) 7→ (b), (5.66)
tal que, proyecta subvariedades de Legendre en STB a frentes de onda en B. A esta proyección
les llamaremos la proyección del frente de onda. Cada fibra de esta proyección π−1(b) es una
subvariedad de Legendre en STB.
Si φt es la transformación de contacto tal que( genera un)flujo geodésico en STB, el frente de
onda se puede ver como
F (t) = π φ (π−1
b t (b)) (5.67)
dado que φ (π−1
t (b)) es una subvariedad de Legendre de STB. Podemos hacer las siguientes
observaciones:
1. Si L0 y L1 son subvariedades de Legendre de STB tales que se intersectan en un punto
X~ ∈ STbB, entonces sus proyecciones de frente de onda dadas por π(L0) y π(L1) res-
pectivamente, se intersectan en un punto b ∈ π(L0)∩π(L1) de forma tangente (Figura
5.5)
2. La fibra generada por π−1(b) en el haz tangente unitario de TbB se puede pensar como
el conjunto de todas las posibles direcciones de geodésicas con velocidades unitarias que
parten desde el punto b. Esto es conocido también como el geodesic spray.
Para un punto b1 ∈ Fb(t) existe una única geodésica con velocidad unitaria γ tal que γ(0) = b
y γ(t) = b1 donde
~v1 = γ̇(t) = φt∗(γ̇(0)) (5.68)
para φt una transformación de contacto. Dado que φ (π−1
t (b)) ⊂ STB es una subvariedad de
Legendre, entonces ~v1 ∈ STb1B ⊂ ξ~v . Esto muestra que el plano tangente al frente de onda
1
Fb(t) en el punto b1 es el plano en Tb1B definido por el vector ortogonal a él ~v1.
Supongamos que γ es una geodésica en B con velocidad constante. Supongamos además que
t, t1 ∈ R+ tales que b0 = γ(0) y b1 = γ(t1). Sea φt una transformación de contacto que
64
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Figura 5.5: Subvariedades de Legendre que se intersectan en un punto, al hacer la proyección
del frente de onda, éstos se intersectan de forma tangente en la variedad base.
representa un flujo geodésico STB. Con esta información podemos construir las subvariedades
de Legendre asociadas a estos puntos(en STB)
L0 = φt π−1(b0) , L = π−1
1 (b1). (5.69)
Podemos observar que L0 y L1 se intersectan en el punto γ̇(t1) ∈ STb1B. Ambas subvariedades
de Legendre las podemos evolucionar un tiempo t bajo la transformación φt, obteniendo nuevas
subvariedades de Legendre [72] ( )
L′0 = φt(L
−1 ′
0) = φt1+t π (b0) , L1 = φt(L1), (5.70)
donde ambas subvariedades se intersectan en el punto γ̇(t1 + t) ∈ STbB. Estas nuevas subva-
riedades de Legendre las podemos proyectar a su respectivo frente de onda dado por
Fb0(t1 + t) = π(L′0), Fb1(t) = π(L′1). (5.71)
Ambos frentes de onda se intersectan en el punto b y retomando la observación ilustrada en
la figura 5.5 la intersección entre Fb0(t1 + t) y Fb1(t) es tangente. Como los puntos sobre los
frentes de ondas son arbitrarios, esto se cumple para cualquiera. Aśı, Fb0(t1 + t) siempre será
tangente a cada uno de los frentes de ondas secundarios y por ende la envolvente de ello (ver
figura 5.6). Esto demuestra de manera geométrica el principio de Huygens.
65
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Figura 5.6: Esquema de la demostración del principio de Huygens mediante geometŕıa de
contacto.
66
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
6. Propagación de la luz en medios ópticos
A lo largo del trabajo, hemos visto que un medio óptico se puede representar por una variedad
Riemanniana. En este caṕıtulo, desarrollaremos conceptos y estructuras de geometŕıa métrica
de contacto, que nos permitan mostrar una visión más completa de este hecho, aśı como
algunas aplicaciones importantes. Partiremos de una variedad Riemanniana inmersa en un
espacio-tiempo bi-métrico Lorentziano, donde la métrica óptica se puede descomponer en
términos de la velocidad del observador y una métrica asociada a las propiedades del medio
óptico en cuestión. Este desarrollo, nos permitirá mostrar que la ortogonalidad de los haces
de luz y los frentes de onda, se expresa a partir de dotar al medio óptico con una estructura
métrica de contacto adecuada. Todo esto, suponiendo que el medio es un espacio simple sin
fronteras. Las interfaces entre medios se pueden modelar como fronteras del espacio. En estos
casos, mostraremos que la ortogonalidad entre los haces y los frentes de onda no se conserva,
dando pie a las conocidas aberraciones ópticas y en algunos casos a la reflexión total interna.
A lo largo del caṕıtulo, trabajaremos de manera expĺıcita con las transformaciones de contacto
encontradas y desarrolladas en el caṕıtulo anterior, que nos permiten reconstruir de manera
sencilla, tanto los rayos de luz como la evolución de los frentes de onda, sin la necesidad
de resolver la ecuación geodésica para los rayos, ni la ecuación de onda para los frentes.
Finalmente, el caṕıtulo lo cerraremos con ejemplos expĺıcitos de estos hechos para medios con
diferentes geometŕıa y dimensiones.
6.1. La variedad del medio
En esta sección, detallaremos la construcción de la variedad del medio. Usaremos un espacio
bi-métrico con el medio ambiente y la métrica del medio, para aśı mostrar que la métrica
óptica se puede descomponer en términos de la velocidad del observador y la métrica del
medio. Esto hace que la variedad del medio se pueda ver como una variedad cociente, dada
por las órbitas de un observador en reposo.
Para poder describir un medio óptico, usaremos una variedad Riemanniana (B, g) inmersa
en un espacio-tiempo bi-métrico (M, g0, g̃), donde g0 representa la métrica del vaćıo como el
espacio-tiempo “de fondo”; mientras que g̃ representa la métrica que codifica las propiedades
ópticas del medio. Dada esta configuración, la velocidad de un observador en reposo u ∈ TM
[59] que definirá el marco de referencia del laboratorio, deberá satisfacer
1
g0(u, u) = −1 y g̃(u, u) = − , (6.1)
n2
donde n > 1 representa el ı́ndice de refracción del medio. Podemos observar que la velocidad
de la luz en el medio es menor que en el vaćıo de fondo. En este caso, estamos usando g0, la
métrica del espacio-tiempo de fondo para subir y bajar ı́ndices en términos de los isomorfismos
musicales:
g[0 : TM −→ T ∗M y g]0 : T ∗M −→ TM. (6.2)
Cada vector en (M, g0, g̃) que no sea del tipo “espacial” se puede descomponer en términos
67
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
de la métrica óptica g̃ como
w = Hor(w) + Ver(w) (6.3)
donde Hor(w) y Ver(w) son las componentes transversales y paralelas de w con respecto a la
velocidad del observador u. En este sentido, impondremos que la descomposición vertical y
horizontal de un campo vectorial sean perpendiculares bajo la métrica óptica g̃. Esto es
g̃ (Hor(w),Ver(w)) = 0. (6.4)
Pedimos ahora, que para todo campo vectorial nulo v (i.e. g(v, v) = 0), se cumpla que
Ver(v) = Ωu (6.5)
para alguna función Ω no nula M . Aśı, el campo nulo satisface
g̃(v, v) = g̃ (Hor(v),Hor(v)) + g̃ (Ver(v),Ver(v))
= g̃ (Hor(v),Hor(v)) + g̃ (Ωu,Ωu)
Ω2
= g̃ (Hor(v),Hor(v))− = 0 (6.6)
n2
y por tanto
Ω2
g̃ (Hor(v),Hor(v)) = . (6.7)
n2
Con base en estas restricciones, podemos definir B como la variedad cociente
B = M/Gu, (6.8)
donde Gu representa al grupo de traslación asociado al flujo de campo vectorial u (observador
estático o de laboratorio). Dicha variedad la podemos dotar de una métrica Riemanniana g
tal que satisfaga para todo campo vectorial nulo v
Ω2
g (Π∗v,Π∗v) = , (6.9)
n2
donde Π : M −→ B es la proyección local trivial. A la variedad (B, g) se le conoce como la
variedad del medio1 Fig. 6.1. La métrica óptica se puede descomponer por tanto, en términos
de la métrica Riemanniana de la variedad del medio y la velocidad del observador
1
g̃ = g ◦ (Π∗ ⊗Π?)− u[ ⊗ u[, (6.10)
n2
donde u[ ≡ g[0(u) (cf. ecuación (6.2)). Para futuras referencias a lo largo del trabajo, conside-
raremos Ω = 1. Podemos observar que (6.10) corresponde la expresión conocida de la métrica
óptica de Gordon [48].
6.2. Rayos, frentes de onda y el flujo de Reeb
En esta sección, mostraremos la naturaleza dual de los rayos de luz y los frentes de onda
que aparecerá de manera expĺıcita bajo la perspectiva de la geometŕıa métrica de contacto.
Empezaremos a construir las estructuras geométricas de contacto sobre la variedad del medio,
con la finalidad de mostrar que la perpendicularidad de los haces de luz y sus frentes de onda
1cf. esta variedad es equivalente a la conocida como variedad del cuerpo u objeto desarrollada en [74] y [75]).
68
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
1
Gu
u
v
M p •
Hor(v)
P
B
•
P⇤v
Figura 6.1: Variedad del medio
depende de la existencia de una estructura de cuasi-contacto en dicha variedad. Demostrare-
mos que la evolución temporal del flujo geodésico se puede escribir en términos de una familia
uni-paramétrica de transformaciones de contacto en el haz tangente unitario de la variedad.
Para ello, consideraremos el haz tangente STB junto con el haz co-tangente sin la sección
cero 0B, denotado por PT ∗B [76]. Estos espacios nos permiten representar la dualidad de la
luz, entre los rayos de luz y la propagación ondulatoria en un medio óptico (B, g) [20,70,76].
El primer espacio representa el formalismo de los rayos de luz como proyecciones del flujo de
las geodésicas nulas de la métrica g̃. Los elementos de PT ∗B representan, por otro lado, a los
planos tangentes a los frentes de onda [73]. Sin embargo, existe una correspondencia uno a
uno entre los elementos de ambos espacios, relacionando el flujo geodésico en el haz tangen-
te unitario con una familia uni-paramétrica de transformaciones de contacto en la variedad
de elementos de contacto [67]. Finalmente, dado que las transformaciones de contacto son
simetŕıas de la distribución de contacto, los elementos de contacto asociados son invariantes
bajo la proyección canónica a la variedad base B.
Consideremos el haz tangente TB de la variedad del medio de n dimensiones (B, g). Definimos
el haz tangente unitario como
STB = {v ∈ TB|g(v, v) = 1}, (6.11)
para g es la métrica del haz dada por g [77]. De la restricción de que el haz sea unitario,
podemos observar que
dim(STB) = 2n− 1. (6.12)
Notemos que la propiedad dada por (6.11), justamente corresponde al conjunto de nivel cero
69
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
en TB, es decir g(v, v)− 1 = 0. De forma análoga, el haz co-tangente unitario se define como
ST ∗B = {p ∈ T ∗B|g−1(p, p) = 1}. (6.13)
Observemos que la restricción de ST ∗B con PT ∗B corresponde a una estructura conocida
como estructura de rayos-ópticos definida por Perlick (ver definición 5.1.1 y la proposición
5.1.1 de [17]). Esto es
N = {p ∈ PT ∗B|g−1(p, p) = 1}. (6.14)
De manera natural, el haz cotangente T ∗B cuenta con una estructura simpléctica asociada.
Es decir, cuenta con una 2-forma cerrada, no degenerada ω ∈ Λ2(T ∗B). Definimos un campo
de Liouville, como un campo vectorial L ∈ T (T ∗B), tal que
LLω = ω. (6.15)
Usando la identidad de Cartan, tenemos que
LLω = ι̇Ldω + dι̇Lω = −dι̇Lω = −dλ = ω. (6.16)
Por tanto, podemos definir una 1-forma λ ∈ Λ1(T ∗B) que genere la estructura simpléctica en
términos del campo vectorial de Liouville dada por
λ ≡ ι̇Lω. (6.17)
Esto nos permite definir una 1-forma de contacto en ST ∗B dada por la restricción de la
1-forma de Liouville a la estructura de rayos ópticos N
η = λ|N . (6.18)
Observemos que la dimensión deN es 2n−1. La 1-forma de contacto nos induce la distribución
de contacto dada por D = ker(η). Aśı, el conjunto (N ,D) será una variedad de contacto
conocida como el espacio de elementos de contacto o el haz de contacto de B. Definimos la
proyección canónica de la restricción del haz como
π|N : N ⊂ T ∗B −→ B, (6.19)
que manda los hiperplanos de la estructura de contacto D a los elementos de contacto en B.
Podemos observar que los campos vectoriales tangentes a las curvas geodésicas afines en (B, g)
son secciones de STB. Por tanto, establecemos una relación entre STB y N , pidiendo que
(π∗ ◦ i∗) (Rη) = n (Π∗(v)) (6.20)
donde i : N → T ∗B es el mapeo inclusión, v es un campo vectorial nulo en TM, n es el ı́ndice
de refracción del medio y Rη es el campo vectorial de Reeb asociado a la 1-forma de contacto
η (5.33) que cumple con
ι̇Rη = 1 y ι̇Rdη = 0. (6.21)
La condición (6.20), expresa que las geodésicas de (B, g) son transversales a N y que R es la
parte espacial de un campo vectorial nulo en TM . [cf. ecuación (6.9) ]. De hecho
1
g(R,R) = g(R|x, R|x) = for each x ∈ B. (6.22)
n2
70
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Sin embargo, esto no implica que los rayos de luz sean ortogonales (en el sentido métrico) a
N . La condición de ortogonalidad implica la existencia de una estructura de cuasi-contacto
φ : TN −→ TN , (6.23)
donde
φ2 = −1 + η ⊗R y η ◦ φ = 0, (6.24)
tal que (N , η,g|N ) es una variedad métrica de contacto. Esto es, la métrica en el haz restrin-
gido g|N = i∗(g) puede ser escrita como
g|N = η ⊗ η + dη ◦ (φ⊗ 1). (6.25)
Por tanto
g|N (D, R) = η(D)η(R) + dη(φD, R) = 0. (6.26)
La última igualdad se adquiere de la condición de transversalidad (6.21) y la definición de φ
(6.24), donde φD = D. Más adelante, mostraremos que la presencia de fronteras (interfaces
entre diferentes medios) rompe esta condición de ortogonalidad.
Siguiendo con la definición de un frente de onda (cf. sección 5.3.1), sea b ∈ B la hipersuperficie
dada por
Fb(t) = {bi ∈ B |γ(0) = b, γ(t) = bi} (6.27)
para γ una geodésica en (B, g). Podemos observar que para bi ∈ Fb(t) el elemento de contacto
π(Db ) es tangente a Fb(t). El proyector canónico del haz π proyecta subvariedades de Legendre
i
de N a frentes de onda en B (ver detalle en sección 5.3.1) [67].
Consideremos el flujo de un campo vectorial geodésico en STB dado por γ(t) ∈ B y γ̇(t) ∈
STγ(t)B. Existe un único elemento de contacto, tal que
g|N (Db , R|b ) = 0 (6.28)
i i
para cada t. El flujo del campo de Reeb induce una transformación estricta de contacto
LRηη = 0. (6.29)
Dada la dualidad del flujo de Reeb con el flujo geodésico, existe una familia de transforma-
ciones de contacto de 1 parámetro φt : N → N , tales que para cada p ∈ N con p = g[ (γ̇(0))
se cumple que
φ (p) = g[t (γ̇(t)) . (6.30)
Por tanto, el flujo geodésico puede ser evolucionado en términos únicamente de la familia de
transformaciones de contacto φt de N (Fig 6.2) [78]. En las siguientes secciones, explotaremos
este hecho y haremos algunos ejemplos de manera expĺıcita.
Con toda esta herramienta, podemos hacer ejemplos para medios ópticos descritos por dife-
rentes geometŕıas y en diferentes dimensiones. En todos ellos, daremos la familia de trans-
formaciones de contacto expĺıcita que evoluciona el flujo geodésico y que permite reconstruir
tanto los rayos de luz como la evolución de los frentes de onda a partir de los elementos de
contacto. En los ejemplos incluiremos interfaces entre medios, modelados por fronteras en la
variedad y veremos de forma expĺıcita como se rompe la condición de ortoganilidad dada por
la estructura de cuasi-contacto.
71
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Figura 6.2: Representación gráfica de la transformación de contacto traslapada con los frentes
de onda y sus respectivos elementos de contacto. Si el medio es conexo simple (no tiene
interfaces entre medios) entonces, los frentes de onda son transversales a los rayos de luz,
satisfaciendo completamente (6.28). Para p ∈ γ, siempre se satisface que φt(p) ∈ γ.
72
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
6.3. Medio óptico en una geometŕıa Euclidiana de 2 dimensio-
nes
Consideremos un medio óptico con permitividad eléctrica ε y permeabilidad magnética µ. A
este medio lo dotaremos con una geometŕıa Euclidiana, dada por una métrica espacio-temporal
en R3 ∑2
g̃ = dxi ⊗ dxi − 1
dt⊗ dt, (6.31)
n2
i=1
donde n2 = εµ es el ı́ndice de refracción del medio. Para nuestro medio óptico, es necesario
utilizar únicamente la parte espacial de la métrica del medio, por lo que trabajaremos con
una proyección conforme dada por
∑2
g = n2 dxi ⊗ dxi. (6.32)
i=1
El haz tangente unitario STR2 lo podemos dotar de coordenadas locales {x, y, px, py}, donde
la forma simpléctica canónica se escribe como
ω = dx i
i ∧ dp . (6.33)
La condición de unitariedad (6.11) nos lleva√a
py = n2 − p2
x. (6.34)
La forma de Liouville se escribe en estas coord√enadas de como
λ = px dx+ n2 − p2
x dy. (6.35)
El campo vectorial de Reeb, asociado a(la 1-form√a de contac)to queda como
1
R 2 2
λ = px ∂x + n − px ∂y . (6.36)
n2
Dado que el espacio STR2 es isomorfo a R2×S, podemos asociarle las coordenadas cartesianas
originales mas una coordenada angular θ ∈ S. Cambiamos a estas coordenadas {x, y, θ}
haciendo la transformación
φstb : TR2 → STR2 (6.37)
[x = x, y = y, px = − sin θ, py = cos θ] (6.38)
En estas nuevas coordenadas, la 1-forma de L√iouville queda como
λstb = − sin θ dx+ cos2 θ + n2 − 1 dy, (6.39)
el campo vectorial de Reeb asocia(do a λ queda√como
1 )
Rstb = − sin θ ∂x + cos2 θ + n2 − 1 ∂y . (6.40)
n2
La distribución de contacto se{tran(s√forma a ) }
D 1
= span cos2 θ + n2 − 1 ∂x − sin θ ∂y , ∂θ . (6.41)
n2
73
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
El flujo del campo de Reeb es ( )
t sin θ0 t cos θ0
Φ(t) = x0 − , y0 + , θ , (6.42)
n2 n2 0
mientras que a familia de transformaciones de contacto de 1-parámetro inducida por el flujo
del campo de Reeb está dada[por ]
− t sin θ t cos θ
φt = x = x , y = y + , θ = θ . (6.43)
n2 n2
Observamos que realmente esta transformación es estricta de contacto, dado que φ∗t (λ) =
λ, mientras que la distribución de contacto permanece invariante (6.41). La proyección del
haz de la distribución de contacto π(χ) son los elementos de contacto de R2. En este caso,
corresponden al primer vector de (6.41). Para un punto q ∈ R2 y un ángulo θ0 fijo, existe una
única geodésica que pasa por q y que la dirección de su vector tangente es precisamente θ0.
Por tanto, el elemento de contacto es la recta normal positiva generada por el vector π(χ).
El flujo geodésico ha sido escrito en términos de la familia de transformaciones estrictas de
contacto de 1-parámetro (6.43). Podemos observar que para el caso del vaćıo (ε0µ0 = 1) ,
la transformación de contacto inducirá un flujo dado por la familia de rectas con pendiente
m = −(tan θ −1
0) , recordando que θ0 es el ángulo del elemento de contacto positivamente
ortogonal a la geodésica. Dado que la curva geodésica es la trayectoria de un ra√yo de luz,
cuando éste pasa a un medio diferente (εµ 6= 1), la luz se refracta con n = εµ como
es esperado, dada la ley de Snell. Podemos reconstruir los frentes de onda a partir de los
elementos de contacto, sin la necesidad de resolver la ecuación de onda directamente. En la
figura 6.3 se puede observar como los frentes de onda se deforman y se “alentan” cuando
pasan de un medio a otro. En la figura 6.4 la fuente de luz se encuentra en el medio con ı́ndice
de refracción más grande. En ella podemos observar que cuando la luz pasa por la interfaz de
los diferentes medios se presenta el fenómeno de la reflexión total interna.
6.4. Medio óptico en una geometŕıa Euclidiana de 3 dimensio-
nes
De la misma forma que en 2 dimensiones, comenzamos dotando aun medio óptico con permiti-
vidad y permeabilidad ε y µ respectivamente con una métrica Euclidiana. Usando únicamente
la proyección espacial conforme tenemos
∑3
g = n2 dxi ⊗ dxi. (6.44)
i=1
Al igual que en el ejemplo 2-dimensional, encontramos la condición de normalización de los
vectores para poder restringirnos al espac√io tangente unitario STR3
p = n2
z − p2
x − p2
y (6.45)
y encontramos la 1-forma de Liouville √
λ = px dx+ py dy n2 − p2
x − p2
y dz. (6.46)
74
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Aśı, el campo vectorial de Reeb a(sociado queda co√mo
1 )
Rλ = p ∂ + p ∂ + n2 − p2 − p2
n2 x x y y x y ∂z . (6.47)
Hacemos la transformación a coordenadas angulares, dado que STR3 ≈ R3 × S2 por lo que
ahora, podemos asociar dos coordenadas angulares θ y ϕ. Tomamos la transformación
φ :TR3
stb → STR3 (6.48)
[x = x, y = y, z = z, px = sin θ cosϕ, (6.49)
py = sin θ sinϕ, pz = cos θ]
para pasar a coordenadas {x, y, zθ, ϕ}. De esta forma obtenemos la transformación de la
1-forma de Liouville √
λ 2 2
stb = cosϕ sin θ dx+ sinϕ sin θ dy + cos θ + n − 1 dz, (6.50)
y el campo vectorial de (Reeb queda como
1 √ )
Rstb = cosϕ sin θ ∂x + + sinϕ sin θ ∂y + cos2 θ + n2 − 1 ∂z . (6.51)
n2
La distribución de contacto se transforma como
D = span {−√sin θ sinϕ ∂x + cosϕ sin θ ∂y, } (6.52)
− cos2 θ + n2 − 1 ∂x + cosϕ sin θ ∂z, ∂θ, ∂ϕ .
Calculam(os ahora el flujo del campo vectorial de Reeb Rstb, el cuál queda como
√ )
t cosϕ 2 2
− 0 sin θ0 t sinϕ0 sin θ0 t cos θ0 + n − 1
Φ(t) = x0 , y0 + , z0 + , θ0, ϕ0 (6.53)
n2 n2 n2
generando una familia 1-pa[ramétrica de transformaciones estrictas de contacto
t cosϕ sin θ t sinϕ sin θ
φt = x = x− , y = y + ], (6.54)
n2 n2
√
t cos2 θ + n2 − 1
z = z + , θ = θ, ϕ = ϕ . (6.55)
n2
Como era de esperarse, la proyección de la distribución de contacto a R3 son planos 2-
dimensionales, los cuales son los elementos de contacto de R3. Cada plano es tangente al
frente de onda dado por la superficie de una esfera.
6.5. Medio óptico en una geometŕıa hiperbólica de 2 dimen-
siones
Tomemos ahora un medio óptico 2-dimensional con sus respectivas permitividad eléctrica
y permeabilidad magnética ε y µ. Supongamos ahora, que el medio tiene una geometŕıa
hiperbólica dada por la métrica de L(obachevsky )
2
1 ∑
i ⊗ 1
g̃ = dx dxi − dt⊗ dt (6.56)
(x2)2 n2
i=1
75
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Figura 6.3: Rayos de luz y frentes de ondas emitidas por una fuente de luz en el aire (n = 1)
que pasan a un medio diferente, dado por agua (zona gris con n = 1.33). Este nuevo medio
está representado en gris. Los rayos de luz re refractan siguiendo la ley de Snell. Los frentes de
onda se deforman al ser frenados por el cambio de medio. Después de volver al medio original
(aire), los frentes de onda no regresan a su forma original.
76
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Figura 6.4: Rayos de luz y frentes de onda emitidos por una fuente de luz situada en agua
(zona gris con n = 1.33), representada por la capa gris. Cuando los rayos de luz se refractan
al pasar a un medio diferente (aire con n = 1), se puede observar un ángulo cŕıtico θc, después
del cual, los rayos de luz ya no salen a la superficie de aire. En la figura sólo se muestran los
rayos de luz que salen al aire. Los frentes de onda son deformados al pasar por la interface.
Después de salir del medio, se puede observar que los frentes no conservan su forma esférica.
Algunas aberraciones se pueden observar en los rayos de luz refractados casi paralelos a la
superficie, pues éstos ya no intersectan de forma perpendicular a los frentes de onda.
77
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
para y > 0. Este modelo hiperbólico es conocido como H2. Al igual que los ejemplos anteriores,
trabajaremos con una proyección conforme de la parte espacial
2
n2 ∑ n2
g = dxi ⊗ dxi = (dx⊗ dx+ dy ⊗ dy) . (6.57)
y2 y2
i=1
Para esta métrica, la condición de normali√zación para restringirnos a STH2 queda como
P = y(n2 − P 2
y x ). (6.58)
Es importante observar que el espacio tangente unitario del semi-plano hiperbólico no es igual
al unitario de los reales, de hecho STH2 ≈ PSL(2,R) que es el espacio proyectivo del grupo
especial de transformaciones lineales SL((2,R) d)ado por la relación
a b
g = ± −7 → (z̃, ξ) , (6.59)
c d
para g ∈ PSL(2,R) y (z̃, ξ) ∈ STH2. Observamos que z̃ = g(i) ∈ H2 y ξ ∈ T 2
zH es un
vector unitario. Esto nos permite poder encontrar nuevamente coordenadas cartesianas más
una coordenada angular dadas por z̃ = (x, y) ∈ H2 y ϕ = arg (ξ) ∈ S1 [79]. De esta manera,
la 1-forma Liouville se escribe como
n
λstb = (− cosϕ dx+ sinϕ dy) . (6.60)
y
y el campo vectorial de Reeb asociado queda como
1
Rstb = (y cosϕ ∂x + y sinϕ ∂y − cosϕ ∂ϕ) . (6.61)
n
La distribución de contacto queda c{omo
y }
D = span (sinϕ ∂x + cosϕ ∂y) , ∂ϕ . (6.62)
n
Una vez más, encontramos la familia de transformaciones estrictas de contacto de 1-parámetro
en PT ∗B inducida por el flujo del campo de Reeb con la identificación natural con STH2
[
2t
(x sinϕ+ y cosϕ− x)e n − x sinϕ− y cosϕ− x
φt = x = 2t , (6.63)
(sinϕ− 1)e n − sinϕ− 1
t
− 2yen
y = ,
(sinϕ(− 2t
1)e n − sinϕ− 1 )]
−(− 2t
sinϕ+ 1)e n − sinϕ− 1
ϕ = arctan t
2en cosϕ
Podemos observar que la transformación (6.63) es justamente una transformación estricta de
contacto dado que φ∗t (λ) = λ. Como era esperado, la proyección del flujo del campo de Reeb
que induce la transformación (6.63) son semi-ćırculos de radio
y0
r = (6.64)
cosϕ0
78
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Figura 6.5: Rayos de luz y frentes de ondas emitidas por una fuente de luz en el aire (n = 1)
que se refracta a través de una interfaz horizontal de agua (zona gris con n = 1.33). En la
imagen, el semi plano superior se proyecta al disco de Poincaré.
79
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Figura 6.6: Rayos de luz y frentes de onda emitidos por una fuente de luz en el aire (n = 1) que
se refracatn al apsar por una interfaz de agua (zona gris con n = 1.33) colocada verticalmente.
En la imagen, el semi plano superior se proyecta al disco de Poincaré.
80
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
centrado en ( )
x0 cosϕ0 − y0 sinϕ0
, 0 , (6.65)
cosϕ0
que corresponden a las curvas geodésicas de H2. Para las interfaces entre los medios con dife-
rentes ı́ndices de refracción, resolvimos (6.61) de manera numérica. Las soluciones se observan
en las figuras 6.5 y 6.6, que representan la refracción de los rayos de luz en el disco de Poin-
caré. Figura 6.5 representa una interfaz horizontal, mientras que 6.6 representa una interfaz
vertical, ambas de agua.
Finalmente, usamos los mismos métodos numéricos para obtener los frentes de onda de una
fuente de luz en un medio con un ı́ndice de refracción mayor a 1. El resultado se muestra en
la figura 6.7, de donde podemos observar que no hay reflexión total en contraste con el caso
Euclidiano.
En un contexto gravitacional, el modelo de anti-deSitter (AdS) se asemeja al modelo geométri-
co hiperbólico. Es conocido que AdS admite curvas tipo tiempo cerradas y superficies acróni-
cas. En la figura 6.7 podemos observar algunas de estas caracteŕısticas geométricas en rayos
de luz que se acercan al disco frontera del infinito, donde intersectan más de una vez el mismo
frente de onda.
En este caṕıtulo podemos concluir que los espacios STB y N son las estructuras matemáticas
necesarias para expresar la propagación de la luz en términos de los dos principios elementales
de la óptica: El principio de Fermat y el de Huygens. Por un lado, STB es la proyección espacial
del cono nulo, en donde los rayos de luz corresponden a curvas nulas en el espacio (M, g0, g̃).
Esto permite la formulación espacio-temporal del principio de Fermat. Por el otro lado, N nos
permite definir los frentes de onda tangentes a los elementos de contacto en B. La evolución
de la luz en STB está dado por el flujo del campo de Reeb, mientras que en N está dado por
la familia de transformaciones de contacto inducidas por el mismo flujo. Es en este sentido,
que toda la naturaleza de la propagación de la luz en medios no dispersivos se encuentra
codificada en el haz de contacto de (B, g) junto con sus simetŕıas.
El hecho de que los flujos geodésico se puedan escribir en términos de la familia de trans-
formaciones de contacto, nos permite reconstruir, tanto las trayectorias de los rayos de luz,
aśı como los frentes de onda de la luz propagándose en un medio óptico. Todo esto, a partir
únicamente del campo de Reeb. Con esta técnica, pudimos resolver ejemplos expĺıcitos en 2 y
3 dimensiones para una geometŕıa Euclidiana y una hiperbólica. En el caso de 2 dimensiones
Euclidiano, pudimos recuperar la ley de Snell asociada a la refracción de la luz, junto con el
fenómeno de la reflexión total interna. Para el caso hiperbólico, pudimos recrear los patrones
de refracción para interfaces verticales y horizontales proyectados al disco de Poincaré. En
este ejemplo pudimos observar que no hay reflexión total interna. Sin embargo, se puede ob-
servar que los rayos de luz refractados pueden intersectar más de una vez el mismo frente de
onda. Esto se puede pensar como una especie de refracción temporal, fenómeno que se podŕıa
investigar a futuro.
El formalismo es suficientemente robusto, para poder lidiar con interfaces sin ninguna adap-
tación necesaria. Esto puede servir como herramienta para resolver problemas de diseño de
metamateriales, en donde se encuentren las propiedades electromagnéticas de un medio nece-
sarias para recrear una curva deseada en la luz.
81
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Figura 6.7: Rayos de luz y frentes de onda emitidos por una fuente de luz en agua (n = 1.33)
que se refractan a través de una interfaz horizontal dada por una capa de aire (n = 1) en el
semi-plano superior, proyectado al disco de Poincaré. Podemos observar que no se presenta
el fenómeno de la reflexión total interna a diferencia del caso Euclidiano. Mientras los rayos
de luz se acercan al disco frontera, intersectan más de una vez al mismo frente de onda. Esto
significa que los rayos de luz, en diferentes tiempos intersecta la misma superficie de tiempo
constante. Este tipo de aberraciones son generadas por la geometŕıa y pueden ser interpretadas
como superficies acrónicas.
82
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
7. Superconductividad e invariantes topológicos
En el contexto de la hidrodinámica, los campos de Beltrami son de gran de relevancia, dado
que son soluciones estables a las ecuaciones de flujo de Euler para fluidos incompresibles
perfectos [80], además de modelar configuraciones de vórtices en otro tipo de flujos. En el
contexto del electromagnetismo, estos campos han sido estudiados en la rama de la astrof́ısica
para modelar explosiones solares, galaxias espirales o vórtices de plasma, entre otras varias
cosas [19]. En años más recientes, se ha podido mostrar que dichos campos de Beltrami,
conocidos en el electromagnetismo como campos libres de fuerza electromagnética, pueden
modelar algunos aspectos de la superconductividad [16,19,80].
Los campos de Beltrami, se caracterizan por ser paralelos a su propio rotacional, generando
flujos libres de fuerzas. Dicha propiedad, se puede modelar de manera geométrica a partir
de una 1-forma particular llamada forma de Bletrami, que puede generar una estructura de
contacto en la variedad. Se ha mostrado, que dichas estructuras generan que el campo de
Beltrami sea un re-escalamiento del campo vectorial de Reeb para la geometŕıa de contacto
[80]. De este modo, es posible tratar de definir la superconductividad en superficies a través
de este tipo de flujos [16] y por tanto, el formalismo geométrico que hemos desarrollado a lo
largo de este trabajo toma relevancia.
En este caṕıtulo expondremos algunos conceptos básicos de los campos de Beltrami en for-
ma diferenciales y veremos algunas de las construcciones hechas para definir propiedades
superconductoras en términos de geometŕıa de contacto. Construiremos también de manera
geométrica algunos invariantes topológicos que resultan ser importantes en la propagación de
ondas electromagnéticas.
7.1. Helicidad y Campos de Beltrami
Como hemos mostrado en el caṕıtulo 3, el electromagnetismo en medios es comúnmente
descrito a partir de las ecuaciones locales de Maxwell (3.5)- (3.5).
∇ ·B~ = 0, ∇× ~ ∂
E + B~ = 0 (7.1)
∂t
∇ · ∂
D~ = ρext, ∇×H~ − D~ = ~jext. (7.2)
∂t
Las ecuaciones que vinculan la respuestas del medio ante la presencia de campos electro-
magnéticos externos son conocidas como relaciones constitutivas. Las más simples escritas
como
D~ = εE~ , H~ = µ−1B~ (7.3)
donde ε es la permitividad eléctrica y µ la permeabilidad magnética. Estas ecuaciones cons-
titutivas definen el comportamiento de las ondas electromagnéticas en dichos medios. Dada
una onda transversal cualquiera en 3 dimensiones (x, y, z) que se propaga en una dirección
z, está dada por [43]
f(z, t) = Aei(kz−ωt)n̂ (7.4)
donde A es la amplitud de la onda, k es el vector de onda y ω la frecuencia. El vector unitario
n̂ describe un vector que es parte del plano perpendicular a la dirección de propagación de la
83
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
onda y que describe “la dirección de perturbación del medio”. De manera general, para una
onda que se propaga en la dirección ẑ, este vector está dado por n̂ = cos θ x̂ + sin θ ŷ. Por
tanto, la onda se puede descomponer en los ejes como
f(z, t) = A cos θei(kz−ωt)x̂+A sin θei(kz−ωt)ŷ. (7.5)
La ecuación (7.5) describe una descomposición de una onda en sus polarizaciones lineales ver-
tical (eje x̂) y horizontal (eje ŷ). Cuando las polarizaciones vertical y horizontal se encuentran
desfasadas por un ángulo de π/2, decimos que la polarización de la onda es circular. Se puede
observar en este tipo de polarización, que para un punto fijo en el eje de propagación (ẑ) el
“medio”se perturba de forma circular, girando ya sea en sentido de las manecillas del reloj o
al revés. Es aqúı donde podemos distinguir dos tipos de polarización circular dependiendo del
sentido derecha o izquierda [43].
Existen algunos medios electromagnéticos, un poco más complicados que los descritos por
las ecuaciones (7.3), en donde las ondas con una polarización circular particular (izquierda
o derecha) se propagan con una velocidad de fase diferente a las ondas polarizadas en la
otra dirección. A este tipo de medios se les conoce como medios quirales. Las relaciones
constitutivas de este tipo de medios se pueden escribir como
D~ = εE~ + ζH~ (7.6)
B~ = µH~ + ξE~ (7.7)
para ε, µ, ζ y ξ escalares complejos [81]. Para este tipo de medios, es importante definir al-
gunos conceptos relacionados con la quiralidad de un medio y los campos electromagnéticos
que se generan en ellos.
Para un campo vectorial F~ definido sobre el espacio Ω, podemos definir la helicidad del
campo como una medida escalar de la cantidad que se tuerce el campo vectorial. Por tanto,
la helicidad estará dada por ∫
H(F~ ) = F~ · ∇ × F~ dx. (7.8)
Ω
Podemos observar que H ∈ R. El término F~ ·∇×F~ se conoce como densidad de helicidad [82].
En términos de esta densidad, podemos definir el tipo de polarización circular que tiene una
onda. Consideremos [ ]
F (z, t) = Re Aei(kz−ωt) (7.9)
para A ∈ C, término en donde se encuentra la información de la fase que define la polarización.
Si
F · ∇ × F < 0, decimos que tiene una polarización circular orientada a la derecha.
F · ∇ × F > 0, decimos que tiene una polarización circular orientada a la izquierda.
Dados dos campos vectoriales F~ y G~ definidos en el espacio Ω, podemos definir la helicidad
cruzada entre ambos campos como [82] ∫
H(F~ ,G~ ) = F~ · ∇ ×G~ dx. (7.10)
Ω
84
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
También podemos definir los campos de Beltrami como aquellos campos vectoriales F~ :
Ω→ R3 que satisfacen
∇× F~ = fF~ (7.11)
para f una función f : Ω → R. Estos campos son conocidos también como campos libres de
fuerzas y una caracteŕıstica es que “se tuercen” de manera constante. Es por eso, que los
campos de Beltrami están fuertemente relacionados con la helicidad
Si f > 0 entonces el campo tiene una helicidad positiva
Si f < 0 entonces el campo tiene una helicidad negativa
Si f = cte entonces el campo se denomina tipo Trkalian
Toda esta información, se puede re-escribir en términos de formas diferenciales. Recordemos
que dada una variedad M las ecuaciones de Maxwell en medios se expresan como (3.35)
∂
dB = 0 , dE + B = 0 (7.12)
∂t
∂
dD = ρ , dH − D = J . (7.13)
∂t
Pudiéndolas compactar en un par de ecuaciones descritas por principios conservacionales de
los campos electromagnéticos y las fuentes
dF = 0 , dG− jext = 0. (7.14)
donde en términos de las formas asociadas a los campos electromagnéticos, las 2-formas de
de fuerza y desplazamiento se escriben como
F = B + E ∧ dt , G = D +H ∧ dt . (7.15)
(Ver desarrollo de (3.42) y (3.43) en caṕıtulo (3)). De la misma manera, las relaciones cons-
titutivas se pueden escribir en este mismo tenor, a partir del operador dual de Hodge, el cual
depende de la métrica del espacio. Si consideramos g la métrica de nuestra variedad M, las
relaciones constitutivas se escriben como √
ε
G = ? F. (7.16)
µ
A partir de recordar algunos conceptos elementales desarrollados a detalle en el caṕıtulo 3,
podemos comenzar a definir los conceptos geométricos de helicidad y campos de Beltrami con
este lenguaje geométrico.
Consideremos ahora, una 1-forma α. Definimo∫s la helicidad de α en la variedad M como
H(α) = α ∧ dα (7.17)
M
donde α ∧ dα es una 3-forma llamada densidad de helicidad o torsión topológica.
Consideremos ahora, una 1-forma α en M, decimos que α es una 1-forma de Beltrami si
? dα = fα (7.18)
85
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
para f : M3 → R. Si f 6= 0 para cualquier punto p ∈ M decimos que α es una 1-forma
rotacional de Beltrami. Podemos observar que si α además de ser una forma rotacional de
Beltrami y α 6= 0 para cualquier punto p ∈M entonces α es además una 1-forma de contacto
en M.
Una vez más, podemos relacionar las formas de Beltrami con la helicidad. Observemos que si
α es de Beltrami, entonces (7.17) se puede ∫reescribir
H(α) = f (α ∧ ?α) . (7.19)
M
Si α es una forma rotacional de Beltrami, la dirección de la helicidad queda definida por
el signo de f . Para el caso electromagnético, tenemos las ecuaciones de Maxwell dadas por
(7.14). Por lo que de manera local, existe una 1-forma A que desempeña el papel de potencial
electromagnético, tal que
F = dA. (7.20)
De esta manera tenemos que la helicid∫ad electromag∫nética se puede escribir como
H(A) = A ∧ dA = A ∧ F, (7.21)
M M
donde Σ es todo el espacio (3 dimensional). Para el caso electromagnético, la densidad de
helicidad A ∧ F juega un papel importante para la descripción de procesos disipativos e
irreversibles.
7.2. Campos de Beltrami y superconductividad
Los campos de Beltrami han sido estudiados desde hace tiempo desde el contexto de la hi-
drodinámica, en donde los flujos de dichos campos, son paralelos a su vorticidad (definida en
términos del rotacional). En el contexto electromagnético, estos campos reciben el nombre
de campos magnéticos libres de fuerzas. Esto se traduce en campos magnéticos, tales que las
corrientes inducidas en un conductor no experimentan fuerza de Lorentz. Esta caracteŕıstica
está dada por las propiedades del medio en śı, descritas por las relaciones constitutivas de
London. Estas relaciones, pueden ser expresadas en términos de una clase de equivalencia de
variedades de contacto con métricas 3-dimensionales, donde dichas estructuras geométricas
permiten la propagación de estos campos libres de fuerzas. En esta sección revisaremos algu-
nos conceptos fundamentales para este fin.
Consideremos una variedad 3-dimensional con una estructura métrica de contacto ε. Esto
es, una variedad de contacto, donde la 1-forma de contacto α y la métrica g satisfacen las
siguientes relaciones [15]
α = ?ldα, g̃−1(α, α) = εl−2 (7.22)
donde estamos suponiendo que el operador ? de Hodge está asociado a la métrica g̃, la cual per-
tenece a la clase de equivalencia de métricas g̃ = l2g para l 6= 0. En general, todo el desarrollo
es independiente del valor ε que se escoja, por motivos de simplicidad, podemos suponer ε = 1.
Como sabemos de la geometŕıa de contacto, para cada 1-forma de contacto existe un vector
caracteŕıstico llamado vector de Reeb. Este vector se define como
α(R) = 1, iR dα = 0. (7.23)
86
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Si la métrica g satisface la condición g(R) = α decimos que el campo de Reeb es un campo de
Beltrami. por tanto el Reeb se puede escribir como R = lcurl(R). De manera directa, podemos
mostrar que
(δd + 1/l2)α = 0 y δα = 0. (7.24)
Podemos observar que la segunda ecuación, es la norma de Lorenz. A partir de estas ecuacio-
nes, podemos observar el concepto de auto-dualidad para campos de norma en dimensiones
impares, explorados en [83]. Para 3 dimensiones, la auto-dualidad es definida como
1
? F = A, (7.25)
l
la cuál, es simplemente la ecuación (7.22), bajo la interpretación de teoŕıa de norma. De la
misma manera, la ecuación (7.24) nos permite escribir
(∆ + 1/l2) ? F = 0 (7.26)
para ∆ = dδ + δd. Ecuación (7.26) es justamente la ecuación que describe campos libres de
fuerzas y en general se asocia con medios superconductores [10], [84]. La asignatura de la
métrica determina el tipo de operador que ∆ es: hiperbólico o eĺıptico. Para las ecuaciones
inhomogéneas de Maxwell, junto con (7.22), encontramos la relación
1
d ? F = j = F (7.27)
l
donde j representa la 2-forma de la corriente inducida en el medio. En este sentido, la ecuación
(7.22) no es más que la relación constitutiva que relaciona la corriente inducida en el medio
a partir de una respuesta a un campo electromagnético externo. Aún más, la relación (7.22)
es una relación métrica entre la estructura de contacto y sus derivadas exteriores, para una
clase de variedades métricas de contacto del tipo para-Sasaki. Finalmente, (7.22) se puede
reescribir como
1
d ? j = F (7.28)
l2
que no es más que las relación constitutiva de London, en su forma habitual para supercon-
ductores [84]. Con este resultado, podemos observar que hasta el momento, no se ha utilizado
nada de la información de la métrica. Lo único que se ha ocupado para estos resultados, es el
hecho de que la variedad tenga una estructura de ε-contacto en 3-dimensiones. Aqúı la dimen-
sión es de vital importancia, ya que la definición de auto-dualidad (7.25) es exclusiva para 3
dimensiones. Finalmente, de estos resultados podemos decir que una variedad 3-dimensional
con una estructura ε-contacto describe a un medio superconductor y que el parámetro l está
asociado a la profundidad de penetración del campo. [15]
7.3. Invariantes topológicos
Finalmente, como parte de la completez del trabajo y parte de las investigaciones a futuro, de-
jamos una construcción geométrica de algunos invariantes topológicos asociados a la helicidad
y al esṕın topológicos, los cuales tienen relevancia en las definiciones de ondas topológicamente
transversales (eléctrica o magnéticamente).
Un invariante topológico es una cantidad que depende de las caracteŕıstica globales (topológi-
cas) del espacio matemático. Para las formas electromagnéticas, podemos definir 3-formas
87
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
invariantes topológicos
h =A ∧ dA = A ∧ F (7.29)
s =A ∧ ?F = A ∧G (7.30)
donde h se conoce como la densidad de helicidad o torsión topológica y s se conoce como
el esṕın topológico [81]. Supongamos que (M, g) es una variedad diferencial de dimensión
4. Podemos observar que si Σ = ∂Ω donde Ω es el volumen 4-dimensional, entonces para la
helicidad (7.21) tenemos que ∫ ∫
A ∧ F = d(A ∧ F ) (7.31)
∂Ω Ω
donde d(A ∧ F ) = F ∧ F es una 4-forma de volumen. A este tipo de formas se le conocen
como invariantes de deformación de Poincaré. De la misma manera para el esṕın topológico
tenemos que
d(A ∧G) = F ∧G−A ∧ j (7.32)
es otro invariante de Poincaré. Ambos invariantes topológicos (la helicidad y el esṕın) tienen
un vector asociado que se puede encontrar de manera geométrica como
~ √1 1
T = g] [?(A ∧ F )] , S~ = −√ g] [?(A ∧G)] , (7.33)
εµ εµ
de tal forma que
A ∧ F = iT~ Ω, A ∧G = iS~ Ω (7.34)
para Ω la forma de volumen en 4 dimensiones. De la misma manera, podemos observar que
para la 1-forma del potencial se cumple que
iT~ A = iS~ A = 0. (7.35)
Estos vectores geométricos (7.33) tienen también una representación vectorial en términos de
los campos vectoriales electromagnéticos. Podemos encontrar que
T~ =(E~ ×A~ + φB~ , A~ ·B~ ) (7.36)
S~ =(A~ ×H~ + φD~ , A~ ·D~ ) (7.37)
(7.38)
donde la primera parte es un vector 3-dimensional y la segunda parte es un término escalar
que juntos forman un vector 4-dimensional [18]. De la misma forma, podemos observar que
los invariantes de Poincaré también se pueden reescribir en términos de los campos vectoriales
electromagnéticos ( )
d(A ∧ F ) =(= −2E~ ·B~ dx ∧ dy ∧ dz ∧)dt (7.39)
d(A ∧G) = B~ ·H~ −D~ · E~ −A~ · J~+ ρφ dx ∧ dy ∧ dz ∧ dt (7.40)
Para la helicidad en su formulación vectorial[, podemos considera]r algunos campos particulares
E±(z, t) = Re (~ux ± i~u )ei(kz−ωt)y (7.41)
88
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
que cumplen con al propiedad de ser justamente campos de Beltrami en el sentido que son
paralelos a su propio rotacional
∇× E± = ±kE±, (7.42)
aśı, su densidad de helicidad E± · ∇ × E± = ±k tiene un signo definido. Para la ecuación de
Helmholtz
∇×∇× E~ = k2E~ (7.43)
para k ∈ R+, permite que se haga una desc(omposición en)dos campos
1
E~± = E~ ± 1∇× E~ (7.44)
2 k
que son soluciones de la ecuación Helmholtz (7.43). Los campos (7.44) son conocidos como la
descomposición de Bohren. De esta forma, los campos se pueden descomponerse a partir de
la helicidad como un refinamiento de la descomposición de Bohren, asi
F~ = F~0 + F~ + F~+ − (7.45)
donde F~± son las descomposiciones en campos con helicidad positiva y negativa, mientras que
F~0 es la parte de helicidad nula. Aśı, se puede observar que
∇ · F~± = 0 ∇× F~0 = 0. (7.46)
Aśı, los campos de Beltrami se pueden descomponer en un campo con helicidad positiva más
un campo de helicidad negativa más un campo de helicidad nula [82].
Podemos observar la relación entre el electromagnetismo y la descomposición de helicidad
de los campos. Supongamos M una variedad diferencial de 3 dimensiones equipada con una
métrica g. Para las ecuaciones de Maxwell sin fuentes, tenemos que existe una 1-forma α que
genera una solución de estas ecuaciones. Por tanto, tenemos el siguiente teorema:
Supongamos que la 1-forma α ∈ Ω1(M) es una 1-forma de contacto y que ω ∈ R \ {0}.
Entonces, existe otra 1-forma β tal qu{e } { }
E(x, t) = Re αeiωt H(x, t) = Im βeiωt (7.47)
para x ∈M y t ∈ R. Donde E y H son los campos electromagnéticos solución de las ecuacio-
nes de Maxwell libres de fuentes [82].
Sea (M, ξ) una variedad de contacto, donde ξ = ker(α) es la distribución de contacto para α
la 1-forma de contacto. Podemos definir una métrica adaptada de contacto g
dα = 2 ? α, para g(α], α]) = 1 (7.48)
donde α] es el vector dual a la 1-forma α, dado por
α]
∂ ∂
= g(α, ·) = gij(αj) = V i , (7.49)
∂xi ∂xi
que en términos de vectores se puede ver como
∇×X~ = 2X~ , con g(X~ ,X~ ) = 1 (7.50)
para X~ = α]. Recordando la definición de campo de Beltrami (7.18) podemos mostrar las
proposiciones de Etnyre y Ghrist
89
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
Si α es una forma rotacional de Beltrami, entonces α es una forma de contacto.
Si α es una forma de contacto y f > 0 para f ∈ C∞(M), entonces existe una métrica
Riemanianna g tal que
dα = f ? g (7.51)
llamada métrica adaptada [81].
Podemos observar que para los campos electromagnéticos definidos en (7.47), si α es una
forma de contacto y g es la métrica Riemanianna adaptada, entonces
dα = |ω| ? α, (7.52)
entonces existe β ∈ Ω1(M) dada por dα = −ω ? β.
Ahora podemos observar que para las soluciones de las ecuaciones de Maxwell (7.47) que si
A ∧ F = 0 (7.53)
entonces se dice que las ondas son topológicamente transversales magnéticas (TTM), ya que
podemos observar que A~ ·B = 0, mientras que si
A ∧G = 0 (7.54)
se dice que las ondas son topológicamente transversales eléctricas (TTE) ya que A~ ·D = 0. Si
para dichas ondas, se anulan ambos invariantes topológicos, entonces decimos que las ondas
son topológicamente transversales electromagnéticas (TTEM ) y resulta que este tipo de ondas
no rad́ıa en ningún lugar del espacio.
De la misma forma, podemos observar que para el invariante de Poincaré dado por (7.39), el
término E~ ·B~ tiene que ver con los procesos disipativos en el medio. Si
E~ ·B~ = 0 (7.55)
decimos que el medio no disipa y por tanto, el proceso podŕıa ser reversible. De lo contrario,
si
E~ ·B~ > 0 (7.56)
el medio disipa enerǵıa y el proceso se vuelve irreversible. Aśı, para soluciones en el vaćıo y
sin fuentes, tenemos que
B~ ·H~ = D~ · E~ y E~ ·B~ = 0 (7.57)
como era de esperarse.
90
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
8. Conclusiones
A lo largo de este trabajo, se escribe el electromagnetismo en un formulación moderna en
términos de formas diferenciales. Este formalismo, permite trabajar con las herramientas
geométricas que se han desarrollado desde principios del sigo XIX junto con la Relatividad
General. Esta herramienta permite trabajar con el śımil entre las interacciones de la materia
con los campos gravitacionales y los efectos electromagnéticos en medios. Toda esto sienta
los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios ópticos. Esta perspectiva
geométrica del electromagnetismo, proporciona herramientas teóricas para el diseño y la rea-
lización de metamateriales menos “artesanales” y más estructurados. Este trabajo aporta en
el área de la ciencia de materiales de manera teórica y matemática.
Escribir las ecuaciones de Maxwell en términos de geometŕıa diferencial resulta más simple y
compacto que la versión vectorial. En este sentido, el formalismo geométrico ayuda a inter-
pretar la f́ısica que de ellas se desprende. Las relaciones constitutivas resultan una condición
fundamental que relaciona la 2-forma de fuerzas F con la 2-forma de desplazamiento G. Es-
tas relaciones codifican la información geométrica del medio que a su vez queda determinada
por las propiedades electromagnéticas del mismo. Esto último resulta fundamental para po-
der unir los conceptos geométricos con las propiedades dieléctricas del medio (permitividad
eléctrica y permeabilidad magnética). Estas relaciones constitutivas se plantean, generalmen-
te, en términos del operador estrella de Hodge, el cual está dado por una métrica impuesta a
priori en el espacio-tiempo del medio. Algunos trabajos realizados en electromagnetismo pre-
métrico [46], [47], [24], [85], plantean la idea de que la métrica se puede encontrar a partir de
un tensor constitutivo χµναβ dado por el principio de acción para el campo electromagnético.
Este mismo tensor codifica las relaciones constitutivas del medio y permite deducir de él la
métrica que subyace en el medio.
En el trabajo, desarrollamos de manera clara y expĺıcita todo la construcción del electro-
magnetismo en formas diferenciales. Esto nos permitió encontrar de una manera geométrica
expresiones independientes de las coordenadas y del marco de referencia, que nos proporcio-
nan las componentes de los campos vectoriales electromagnéticos, para cualquier observador
que pretenda medirlos. Estas expresiones, son tan generales, que permite encontrar dichos
campos, medidos por un observador estático para medios en movimiento, tanto inercial como
no inercial. Medios electromagnéticos homogéneos e isotrópicos, son medidos como medios no
triviales por un observador estático cuando éstos se encuentran en movimiento. Incluso, bajo
las mediciones del observador estático, estos medios llegan a ser inhomogéneos, anisotrópicos
y en la mayoŕıa de los casos con efectos magnetoeléctricos. Esto nos lleva a encontrar medios
estáticos equivalentes, con propiedades más complejas.
Aśı como las relaciones constitutivas relacionan los campos externos con las fuentes, para el
caso de los conductores, la ley de Ohm juega el papel de relación constitutiva uniendo la
información de las corrientes inducidas y el campo eléctrico. Al igual que para las relaciones
constitutivas, en este trabajo pudimos dar una versión geométrica de la ley de Ohm (3.127).
Además, pudimos dar la forma geométrica para poder recuperar la información de mane-
ra vectorial para cualquier observador, notando que esta ley es dependiente del observador
que mide. Aunado a esto, definimos la 3-forma Eu de densidad de flujo de enerǵıa- momento
91
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
(3.131), de la que pudimos encontrar su expresión en términos de las formas electromagnéti-
cas. A partir de encontrar la 1-forma dual de esta 3-forma, pudimos recuperar, en términos
de los campos vectoriales electromagnéticos, la cantidad de enerǵıa accesible a un observador
y el vector de Poynting, confirmando lo que se conoce en la literatura.
Uno de los conceptos más importante para diseño y aplicación de metamateriales ópticos es el
ı́ndice de refracción n, en donde se encuentra codificada la información de la trayectoria que
seguirá la luz una vez que entra en un medio material. Para medios homogéneos e isotrópicos,
el ı́ndice de refracción se calcula como
n2 = εµ , (8.1)
para ε y µ la permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética respectivamente. Un pro-
blema importante surge cuando los medios son anisotrópicos o inhomogeneos, en donde la
permitividad y la permeabilidad ya no son cantidades escalares, sino matrices (o tensores)
que no se pueden reducir a un valor numérico. En estos casos, la definición de ı́ndice de refrac-
ción dada por (8.1) ya no tiene sentido (por lo menos matemáticamente). Es aqúı, donde el
conocimiento generado por la geometŕıa diferencial y la relatividad general cobra relevancia.
Se sabe que la luz se mueve por unas curvas particulares llamadas geodésicas que dependen
de la geometŕıa del espacio-tiempo. Cuando un haz de luz entra a un medio material, la “geo-
metŕıa del espacio-tiempo” cambia y las trayectorias de la luz se modifican. Es por esto que
podemos asociarle a un medio material una geometŕıa y trabajar con las geodésicas de ésta.
La métrica asociada a la geometŕıa define las geodésicas nulas que serán las curvas por las
cuales se moverá la luz. Una transformación conforme de coordenadas genera un cambio en la
estructura de la métrica y por tanto en la geometŕıa del espacio-tiempo. Sin embrago, en estas
transformaciones las geodésicas nulas conservan su trayectoria y por tanto la luz se moverá en
las mismas curvas que en la geometŕıa original. Este concepto resulta ser fundamental para
hacer algunas transformaciones de coordenadas de donde se pueda extraer información acerca
de la velocidad de la luz en la geometŕıa particular y por ende el ı́ndice de refracción. A esto
se le conoce como la métrica óptica.
Aún cuando la métrica óptica nos proporciona el ı́ndice de refracción para geometŕıas en las
que la definición (8.1) no funciona, el método solo funciona en modelos simples y con geo-
metŕıas accesibles, tales como el de Robertson-Walker y Schwarzschild. Sin embargo, existen
muchos modelos de geometŕıas más complicadas, que no permiten una transformación con-
forme a coordenadas isotrópicas cartesianas y por tanto, no es posible encontrar una óptica
métrica para esa geometŕıa (o medio).
El poder escribir el electromagnetismo en términos del tensor constitutivo χ, nos permite en-
contrar directamente de la métrica del espacio-tiempo (4.20) las propiedades electromagnéticas
del medio dadas por (4.22), (4.23) y (4.24). Estas propiedades, que en medios isotrópicos y
homogéneas definen el ı́ndice de refracción, dependen del observador. Es por eso, que debe
existir una forma de calcular n a partir de estas propiedades electromagnéticas. En nuestro
trabajo proponemos una forma directa de calcular el ı́ndice de refracción en geometŕıas (me-
dios) diferentes a la de Minkowski a partir de ε y µ para un observador inercial que se mueve
a velocidad u dada por (4.54). Dicha propuesta se aplicó al caso de la geometŕıa de Schwarzs-
child y coincide con los resultados publicados por de Felice en [20] y por los encontrados por
Schuster y Visser en [48] para dicha geometŕıa.
La dualidad de la luz como onda y part́ıcula, nos lleva también a una dualidad en la descripción
de su propagación a través de un medio. Éste, se puede describir a partir de un śımil mecánico
92
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
(aproximación eikonal) donde un rayo de luz sigue trayectorias definidas o a partir del carácter
ondulatorio, a través de la propagación de una onda en términos de frentes de onda. Para estas
descripciones, los espacios STB y N son las estructuras matemáticas requeridas para expresar
la propagación de la luz en ambos casos. Por una parte, STB es la proyección espacial del
cono nulo, donde los rayos de luz corresponden a curvas nulas en (M, g0, g̃), que nos permite
la formulación espacio-temporal del principio de Fermat. Por otro lado, N nos sirve para
definir los frentes de onda tangentes a los elementos de contacto en B. La evolución de los
rayos de luz en STB está dada por el flujo del campo de Reeb, mientras que en N está dada
por la transformación de contacto asociada a este flujo. En este sentido, la naturaleza de la
propagación de la luz en medios no dispersivos se encuentra codificada en el haz de contacto
de (B, g), junto con sus simetŕıas.
El hecho que los flujos geodésicos puedan ser escritos en términos de una familia de trans-
formaciones de contacto de 1- parámetro, nos permite reconstruir las trayectorias de la luz
al igual que los frentes de onda, cuando ésta se propaga a través de un medio óptico, sim-
plemente a través del flujo de Reeb. Con esta técnica, pudimos explorar ejemplos de medios
con geometŕıas Euclidianas en 2 y 3 dimensiones además de un medio en 2 dimensiones con
geometŕıa hiperbólica. En el caso del medio 2-dimensional Euclidiano, nos fue posible recrear
la ley de Snell de la refracción aunado al fenómeno de la reflexión total interna. Para el medio
hiperbólico, encontramos los patrones de refracción para interfaces verticales y horizontales
proyectadas al ćırculo de Poincaré. Encontramos que en el medio hiperbólico no se presenta
la reflexión total interna cuando la fuente de luz se encuentra en el medio de mayor ı́ndice
de refracción. Sin embargo, es posible notar que algunos rayos de luz intersectan más de una
vez el mismo frente de onda. Esto puede ser interpretado como una refracción temporal en el
medio. Dejamos este fenómeno para un futuro acercamiento más profundo.
El formalismo es suficientemente robusto para poder trabajar con interfaces entre medios con
diferentes ı́ndices de refracción sin ninguna adaptación. Este formalismo, podŕıa ser una op-
ción para resolver el problema de diseño de metamateriales, en donde se requiera encontrar las
propiedades electromagnéticas de un medio que propague la luz por una trayectoria deseada,
problema fundamental planteado en este trabajo.
Por otra parte, otra de las propiedades que pueden ser descritas en términos de geometŕıa y
que pudiera ser de vital importancia para realizar medios con caracteŕısticas muy particulares,
es la quiralidad. Los medios quirales son aquellos medios en donde la velocidad de fase de
las ondas circularmente polarizadas cambia dependiendo de la dirección de la polarización
de éstas. Este tipo de medios, más complejos que los medios lineales, se pueden modelar a
partir de relaciones constitutivas que mezclan los campos eléctricos con los magnéticos (7.7).
Estas relaciones constitutivas son mucho más complejas de modelar en términos de geometŕıa
diferencial y no se conoce modelo geométrico para describir la quiralidad de un medio.
Los conceptos de campos de Beltrami, que son ampliamente utilizados en dinámica de fluidos,
pero que se utilizan poco dentro del electromagnetismo. Estos campos, también conocidos
como campos “libres de fuerzas” son particularmente útiles para flujos que se tuercen sobre
si mismos. Los campos de Beltrami se pueden definir de manera vectorial y diferencial para
espacios o variedades 3-dimensionales. Los campos de Beltrami son en general paralelos a su
propio rotacional (7.11).
La estructura matemática que permite la propagación de los campos libres de fuerzas es una
variedad de contacto, en donde la 1-forma de contacto resulta ser también de Beltrami. Si
la métrica además satisface (7.22), entonces de manera natural se encuentran las ecuaciones
de London, que son las relaciones que rigen parte de la superconductividad. Para geometŕıa
93
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
espacio-temporales de 3 dimensiones (2 espaciales y 1 temporal) estas estructuras aparecen
de manera natural y por tanto podemos decir que son geometŕıas superconductoras.
A partir de los campos de Beltrami, podemos introducir el concepto de helicidad dado de
manera vectorial por (7.10) y de manera dfierencial por (7.17). La densidad de helicidad se
encuentra estrechamente ligada a la polarización de las ondas que se propagan por un medio
electromagnético. De manera geométrica, la densidad de helicidad (también conocida como
torsión topológica) resulta ser un invariante topológico.
En este sentido, estudiamos dos invariantes topológicos para sistemas electromagnéticos: la
torsión topológica y el esṕın topológico. Para ambos invariantes, pudimos encontrar una forma
geométrica de recuperar la información vectorial dado por las ecuaciones (7.33) que dependen
de la métrica del medio. Una vez hecha la parte geométrica, se pudo recuperar las expre-
siones en términos de los campos electromagnéticos conocidos y pudimos corroborar que los
resultados fueron los esperados por la literatura.
Al trabajar en variedades 4-dimensionales (debido a la dimensión temporal), los invariantes
topológicos se pueden generalizar a partir del Teorema de Stokes y encontramos las 4-formas
de volumen conocidas como invariantes de deformación de Poincaré. Para estos invariantes
también pudimos recuperar sus expresiones vectoriales en términos de los campos electro-
magnéticos (7.39) y (7.40). De ah́ı pudimos observar que el invariante de Poincaré asociado
con la densidad de helicidad (torsión topológica) nos muestra información de la disipación de
enerǵıa en las ondas electromagnéticas al propagarse sobre un medio.
Finalmente, nuestro modelo geométrico nos permite hacer una pequeña extensión de su apli-
cabilidad. No sólo podemos modelar con él la propagación de la luz en medios, sino que
intentamos extenderlo a las trayectorias que realizaŕıan part́ıculas cargadas en presencia de
campos magnéticos externos, confinadas a moverse en geometŕıas particulares. A estas curvas
se les conoce como curvas magnéticas en variedades Riemannianas. Parte de la extensión de
este trabajo, radica en poder encontrar la curva magnética sobre una geometŕıa supercon-
ductora (como se modela en el caṕıtulo 7). En este sentido, se ha avanzado escribiendo los
elementos fundamentales para realizar el cálculo.
Escribimos la 2º ley de Newton en términos de conceptos geométricos, dada por la ecuación
de auto-paralelismo dependiente de los coeficientes de la conexión. La fuerza de Maxwell, es
interpretada como una ecuación de compatibilidad entre la 2-forma F de Faraday y la métrica
de la geometŕıa. Dadas las ecuaciones de Maxwell (7.14) y las relaciones constitutivas (7.16),
determinadas por la métrica g de la variedad, el movimiento de una part́ıcula cargada bajo
la acción de un campo electromagnético F , debe satisfacer
m∇γ̇ γ̇ = qΦ(γ̇), (8.2)
de donde la parte izquierda representa la masa por la aceleración (2º ley de Newton), mien-
tras que la parte derecha expresa la fuerza de Lorentz definida a través de la ecuación de
compatibilidad
g(Φ(u), w) = F (u,w). (8.3)
La curva magnética será cualquier curva γ que satisfaga (8.2) con las condiciones de compati-
bilidad para la 2-forma de Lorentz F . Con esto, hemos logramos recrear algunas trayectorias
sobre geometŕıas conocidas. El siguiente paso, es aplicarlo para una geometŕıa superconduc-
tora expuesta en (7.22). Este trabajo se encuentra en proceso de realización y es una de las
extensiones inmediatas al trabajo doctoral aqúı expuesto.
94
Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios DGPC
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Annals of Physics 420 (2020) 168270
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Annals of Physics
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The geometry of induced electromagnetic fields
inmovingmedia
C.S. Lopez-Monsalvo a,∗, D. Garcia-Pelaez b,c, A. Rubio-Ponce b,
R. Escarela-Perez b
a Conacyt-Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco Avenida San Pablo Xalpa 180,
Azcapotzalco, Reynosa Tamaulipas, 02200 Ciudad de México, Mexico
b Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco Avenida San Pablo Xalpa 180, Azcapotzalco,
Reynosa Tamaulipas, 02200 Ciudad de México, Mexico
c Universidad Panamericana, Tecoyotitla 366. Col. Ex Hacienda Guadalupe Chimalistac,
C.P. 01050 Ciudad de Mexico, Mexico
a r t i c l e i n f o a b s t r a c t
Article history: In this manuscript we provide a fully geometric formulation
Received 17 June 2020 for the induced electromagnetic fields and their corresponding
Accepted 16 July 2020 constitutive relations in moving media. To this end, we present
Available online 23 July 2020 the reader with a brief geometric summary to show how vec-
Keywords: tor calculus electromagnetic theory is embedded in the more
Electromagnetism general language of differential forms. Then, we consider the
Riemannian geometry class of metric constitutive relations describing the medium in
Magnetoelectric effect which electromagnetic fields propagate. We explicitly obtain the
components of the induced fields in a moving medium, as seen in
the lab rest frame. This allows us to read the expressions for the
permitivity, permeability and magnetoelectric matrices for the
moving medium which, in turn, can be interpreted as a different
physical material from the lab point of view.
© 2020 Elsevier Inc. All rights reserved.
1. Introduction
It has been since the early days of General Relativity that we have seen that the ‘‘influence of
matter on electromagnetic phenomena is equivalent to the influence of a gravitational field’’ [1,2].
∗ Corresponding author.
E-mail addresses: cslopezmo@conacyt.mx (C.S. Lopez-Monsalvo), dgarciap@up.edu.mx (D. Garcia-Pelaez),
arp@azc.uam.mx (A. Rubio-Ponce), rep@azc.uam.mx (R. Escarela-Perez).
https://doi.org/10.1016/j.aop.2020.168270
0003-4916/© 2020 Elsevier Inc. All rights reserved.
2 C.S. Lopez-Monsalvo, D. Garcia-Pelaez, A. Rubio-Ponce et al. / Annals of Physics 420 (2020) 168270
That is, in the same manner light rays obey Fermat’s principle while propagating across media,
in General Relativity light follows null geodesics on a curved spacetime. Thus, it has been argued
that spacetime acts like a medium with a particular refractive index, where all the information
is encoded in its metric tensor [3–6]. Thus, we can reverse the argument and note that optical
media can be treated geometrically by means of differentiable manifolds where light follows the
corresponding curvature [7,8]. Such intuition has been exploited in the recent development of
material science and engineering [9,10,8,11–14].
The formulation of a field theory in the language of differential geometry has been thoroughly
exploited during the last century. However, most of the work done so far has been developed to
pursue goals in fundamental areas of theoretical physics [15,16]. It has only been in recent times that
these tools have begun to be used in more applied areas [17–20]. For instance, in material science, all
information regarding the macroscopic response of a medium to electromagnetic stimuli is encoded
in its constitutive tensor, which has been related to a metric or a curvature of the geometric space
represented by the medium. [8,1].
The constitutive relations are usually expressed in terms of the permittivity, permeability
and magnetoelectric matrices. These, however, are usually written and interpreted in terms of a
single set of coordinates within the vector calculus formulation of electromagnetism. Thus, one
of our aims is to explicitly bridge such a formulation with the coordinate and frame independent
differential form language. We do this constructively, exhibiting the fact that Maxwell’s equations
are conservation laws in spacetime while constitutive relations are maps linking the differential
forms associated with these conservation laws.
It is of pedagogical value to see how vector calculus electromagnetic theory is embedded in
the more general differential form language. Such details are, more often than not, omitted in the
modern literature based on differential geometry. Therefore, in Section 2 we recall the traditional
formulation of electromagnetic theory starting from the integral form of Maxwell’s equations in
domains of R3 followed, in Section 3, of their generalization to a general differentiable manifold M.
Notoriously, in formulating Maxwell’s equations, there is no need to equip the manifold M with a
metric tensor. However, it is clear that there is no link between the sources and the fields. Such a
link could take various guises, yet it is specially convenient if it is through an intrinsic geometric
structure associated with the manifold. In this way, one can guarantee that the formulation is
independent of the choice of coordinates and observers. Moreover, it comes as an additional
postulate that such a structure contains all the relevant macroscopic electromagnetic information
of the material where the fields are propagating [7].
Here, we adhere to the view that different materials are described by different geometries.
That is, we assume that constitutive relations are expressed in terms of the Hodge dual operator
associated with each material metric tensor. Therefore, we consider a metric for the ambient space
and a metric for the medium. It is worth noting that this is not the most general way to geometrize
constitutive relations but it is the certainly one of the simplest. As a result, we obtain a general and
coordinate free expression to explicitly compute the components of the induced electromagnetic
vector fields as seen by an arbitrary observer. This is done in Section 4.
In Section 5 we consider the effect of external electromagnetic fields on a moving medium which
is homogeneous and isotropic when it is at rest in the lab frame. The corresponding induced fields
are described by a metric tensor adapted to the motion of the medium. Such motion, defines a
coordinate transformation which maps the material metric into its moving version.
Here, we study various types of transformations. First, we consider a medium moving at constant
velocity with respect to the static laboratory frame. Then, we analyze the case of non-inertial
motion. In particular, when the medium is undergoing uniform acceleration and the case when
it is rotating. In all cases we make both analysis, Galilean and relativistic.1 Interestingly, the
transformation describing rotating objects consistent with the principles of special relativity remain
a timely subject [21–23]. We obtain the corresponding metric for the moving medium and explicitly
obtain the permittivity, permeability and magnetoelectric matrices.
1 Galilean and relativistic analysis are so called in terms of the coordinate transformations of the moving media. In
the Galilean case, we do not intend to do a low velocity limit.
C.S. Lopez-Monsalvo, D. Garcia-Pelaez, A. Rubio-Ponce et al. / Annals of Physics 420 (2020) 168270 3
As noted originally by Röntgen [24], a medium immersed in a purely electric field, as measured
by a static observer, appears to be magnetized when it moves with respect the static frame.
Similarly, there is the corresponding apparent polarization when we replace the electric by a
magnetic field. In all cases, the resulting constitutive relations for the moving medium couple the
electric and magnetic fields . This is known as the magnetoelectric effect (see [25] and reference
therein for a timely description) and it has become a very active research area in material science,
e.g. due to the possibility of controlling the magnetization of a ferromagnet rotated by means of
purely electric field [26]. In this work, we explicitly extract the magnetoelectric matrices of a simple
medium for each type of elementary motion. Moreover, due to the generality of the geometric
framework, the same analysis can be readily exported to more complicated materials, described by
curved geometries, in arbitrary motion. This is done in Section 6, where we consider a non-trivial
medium associated with a curved metric and a non-inertial transformation.
Finally, in Section 7 we provide some closing remarks and provide some further directions for
exploration.
Throughout the manuscript, we decline the use of the Einstein sum convention and refrain
of using a designated letter for the speed of light in vacuum as well as in the medium. This
served as bookkeeping of all the geometric factors involved in the transformations. Thus, albeit
our expressions are slightly longer, they provide a clearer notion of scales and units.
2. Vector calculus electromagnetism
The empirical character of electromagnetism lies on the fact that in nature there is a distin-
guished property of matter that certain objects possess and which can be perceived by means of its
motion and interaction. Such property is observed to be conserved and it is called electric charge.
Accordingly, we infer the existence of a field responsible for the inertial change of the charges and,
in turn, as charges move around a new field configuration arises. The field itself obeys its own
conservation law and this lead us to a dynamical theory of fields and charges. This is expressed as
a series∮of observed relations between fields and sources, namely,
∮ B⃗ · n̂ ds = 0, ∫ (1)
∂Ω
d
∮ E⃗ · dℓ⃗ = ∫− B⃗ · n̂ ds, (2)
∂Σ dt Σ
D⃗ · n̂ ds = ρextdv (3)
∂Ω Ω
and ∮ ∫ ∫
d
H⃗ · dℓ⃗ = D⃗ · n̂ ds + j⃗ · n̂ ds. (4)
∂Σ dt ext
Σ Σ
Here, we refer to B⃗ and E⃗ as the fundamental magnetic and electric fields, respectively, while H⃗ and
D⃗ represent the corresponding induced fields in a given medium. The terms ρext and j⃗ext are the
external electric charge density and current density flux, respectively and represent the sources of
the fields. Notice that the induced fields are the ones linked to the sources while the fundamental
fields seem to be independent. The symbol ∂ is known as the boundary operator, in this case acting
on domains of R3. Thus ∂Ω is the 2-dimensional boundary of a 3-dimensional open region Ω ⊂ R3,
while ∂Σ is the 1-dimensional curve bounding an open surface Σ 3
⊂ R .
The passing from the global representation to the local expressions of Maxwell’s equations is a
straightforward application of the vector calculus integral theorems. Thus it follows that Maxwell’s
equations, in their local form, can be separated into the homogeneous
∇ · B⃗ = 0, (5)
∂
∇ × E⃗ + B⃗ = 0, (6)
∂t
4 C.S. Lopez-Monsalvo, D. Garcia-Pelaez, A. Rubio-Ponce et al. / Annals of Physics 420 (2020) 168270
and in-homogenous
∇ · D⃗ = ρext (7)
∂
∇ × H⃗ − D⃗ = j⃗ext, (8)
∂t
pairs of equations.
An immediate consequence of this is a continuity equation for the sources. That is, applying the
divergence operator and substituting (7) into (8) it follows that
∂
ρext + ∇ · j⃗ext = 0. (9)
∂t
Note that this conservation law only refers to the external charges and currents. In addition to the
external sources, each medium is characterized by a response function to the externally applied
fields, implying the appearance of induced charges and currents within the materials. Therefore,
assuming the conservation of total charge entails that the induced charges and currents must be
conserved independently and hence, there is no interchange between external and induced charges.
Thus, postulating Maxwell’s equations (5)–(8) together with the conservation of total charge
∂
ρ + ∇ · j⃗ = 0, (10)
∂t
implies the conservation law for the induced charge and current densities
∂
ρind + ∇ · j⃗ind = 0. (11)
∂t
Here,
ρ = ρext + ρind and j⃗ = j⃗ext + j⃗ind. (12)
The fundamental problem of any field theory consists in determining the fields from the known
sources and some a priori information about the fields in a certain region of space and time. In the
case of electromagnetism we have to determine the electric field E⃗ and the magnetic flux B⃗ from
the known functions of space and time ρext and j⃗ext together with a set of prescribed boundary
and initial conditions. Formulated in this manner, the problem is incomplete, since there is no link
between the homogeneous equations (5) and (6) and the source equations (7) and (8). That is, an
extra set of equations known as the constitutive relations of the medium has to be imposed.
The constitutive relations incorporate information about the medium response to the stimuli
produced by external fields. In general, these are expressed in terms of a convolution averaging the
field effect over the entire space occupied by the medium through the material’s complete history.
In the (simple)st sc(enario, these)c(an be)expressed as the linear transformations [27]
D⃗ ε̄ ζ̄ E⃗
= , (13)
H⃗ χ̄ µ̄−1 B⃗
where ε̄ and µ̄−1 are the 3 × 3 permittivity and (inverse) permeability matrices, respectively, and
ζ̄ and χ̄2 are the so called magnetoelectric matrices [25,11].
In the following sections we present electromagnetic theory in the language of differential forms
and Riemannian geometry. There are numerous references on this subject. For the details concerning
definitions and operational tools from a physical point of view the standard texts [28,29] are
recommended. For more formal details on the mathematical side, we use the conventions of [30].
For the applications of differential geometry in the science and engineering of electromagnetic fields
we urge the reader to consult [17,31,7].
2 Regarding this work, all media will be supposed dielectric, for which ζ̄ and χ̄ are always real.
C.S. Lopez-Monsalvo, D. Garcia-Pelaez, A. Rubio-Ponce et al. / Annals of Physics 420 (2020) 168270 5
3. Electromagnetism in differential forms
Maxwell’s equations are empirical postulates requiring the conservation of certain quantities.
Conservation laws are best understood in their integral form. One usually considers a flux crossing
the boundary of a certain region and imposes its conservation. Then, using Stokes’ theorem and the
arbitrariness of the
equivalent∮to requi∫region of interest one observes that demanding the conservation of the flux is
ring its correspondence to a closed differential form. Schematically
0 !
= J = dJ ∀Ω ⊂ M H⇒ dJ = 0. (14)
∂Ω Ω
Here, J is p-form (with 0 < p < dimM) representing a p-flux, Ω is a p + 1 dimensional region of
M with a p-dimensional boundary ∂Ω , e.g. a 2-dimensional surface bounded by a closed curve, a
3-dimensional volume bounded by a closed surface or, analogously, a 4-dimensional region bounded
by a closed volume. Also, we use the symbol !
∮ = to express the empirical imposition of such equality.
Therefore, Maxwell’s equations are postulated as the conservation laws for a 2-form F , that is
F ! !
= 0 ∀Ω3
⊂ M H⇒ dF = 0, (15)
∂Ω3
and an∮n − 1-form j, i.e.
j !
= 0 Ωn !
∀ ⊂ M H⇒ dj = 0. (16)
∂Ωn
These statements are empirical postulates and are completely general, i.e. they are coordinate free,
observer independent and require no further structure other than differentiability of M. The former,
states the conservation of the total electromagnetic flux whilst, the latter, the conservation of the
total charge. Therefore, Maxwell’s equations (5)–(8) can be written in terms of differential forms
on a 4-dimensional manifold M as
dF = 0, (17)
and
dG − jext = 0 (18)
where, as before, we have the homogeneous and source equations. Here F and G are 2-forms
representing the (E⃗, B⃗) and (D⃗, H⃗) fields, respectively, while jext is a 3-form representing the free
sources (ρext, j⃗ext) and corresponds to the part of the total current density three form which is not
induced by the fields in the medium
jext = j − jind. (19)
Similar to Eqs. (5)–(8), Eqs. (17) and (18) are coordinate independent, that is, they remain
valid regardless of the choice of local coordinates for M. Thus, to convince ourselves that, indeed,
Eqs. (17) and (18) are equivalent to Eqs. (5)–(8), let us work in a cartesian coordinate system
(x1, x2, x3, x4) = (x, y, z, t) for an open set of M.
Let
F = B + E ∧ dt, (20)
G = −D + H ∧ dt (21)
and
j (3)
ext = −ρext + jext ∧ dt. (22)
Here, the fields E and H are the 1-forms whose components are equal to their vectorial counterparts,
i.e. ∑3
E = Eidxi = Exdx + Eydy + Ezdz (23)
i=1
6 C.S. Lopez-Monsalvo, D. Garcia-Pelaez, A. Rubio-Ponce et al. / Annals of Physics 420 (2020) 168270
and ∑3
H = Hidxi = Hxdx + Hydy + Hzdz (24)
i=1
whilst the∑fluxes B, D and j(3)ext are the 2-forms
3
B B i j
= ijdx ∧ dx , (25)
i,j=1
∑i̸=j
3
D D dxi= ij ∧ dxj, (26)
i,j=1
i̸=j
and ∑3
j(3)ext = jijdxi j
∧ dx , (27)
i,j=1
i̸=j
where Bij (resp. Dij and jij) represents the magnetic (resp. electric and external current density) flux
crossing the infinitesimal oriented area element dxi ∧ dxj [32] i.e. the component of B⃗ ∈ R3 (resp.
D⃗ and j⃗ext) orthogonal to the space generated by ê(i) and ê(j), namely
Bij = B⃗ · ê(k) = Bk with ê(i) · ê(j) = ê(i) · ê(k) = ê(j) · ê(k) = 0 (28)
(resp. Dij = D⃗ · k̂ = Dk and jij = j⃗ext · k̂ = jextk) and, finally, ρext is the external charge density 3-form
ρext = ρext dx ∧ dy ∧ dz. (29)
Here, we are using the Cartesian dot product merely to illustrate how the components of the vector
fields in R3 are related to those of their corresponding differential forms. It is not an additional
structure over the manifold M.
It is a straightforward algebraic exercise to compute the exterior derivative of (20) to obtain the
3-form ∑3 ∂B
dF ij
= k dxk dxi dxj∧ ∧ +
∂x
∑i,j,k=(13 )
∂Ej ∂Ei ∂Bij dxii − j + ∧ dxj ∧ dt. (30)
∂x ∂x ∂t
i,j=1
i̸=j
It follows directly from the definition of Bij, Eq. (28), and the definition of the curl operator that the
components(of dF)can be written as
dF =[∇( · B⃗ dx ∧ dy)∧ dz ]+
∂ B⃗
[(∇ × E⃗ + ) · ê(z)] dx ∧ dy ∧ dt−
∂t
∂ B⃗
[(∇ × E⃗ + ) · ê(y)] dx ∧ dz ∧ dt+
∂t
∂ B⃗
∇ × E⃗ + · ê(x) dy ∧ dz ∧ dt. (31)
∂t
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Thus we see that the vanishing of dF [Eq. (18)] is completely equivalent to the set of homogeneous
Maxwell’s equations. Similarly, the components of the 3-form dG corresponds to the left hand side
(lhs) of the in-h∑omogeneous Maxwell’s equations (7) and (8). That is,
3
∂D
dG ij k i j
= −
∂xk
dx ∧ dx ∧ dx +
∑i,j(,k=1
3 )
∂Hj ∂Hi ∂Dij dxi dxji − j − ∧ ∧ dt, (32)
∂x ∂x ∂t
i,j=1
i̸=j
where the minus sig(ns follow fro)m the definition of G, Eq. (21). Thus, subtracting the 3-form jext,
Eq. (22), from dG one obtains
dG − jext =[−( ∇ · D⃗ − ρext dx ∧)dy ∧ d]z +
∂D⃗
[(∇ × H⃗ − − jext) · ê(z)] dx ∧ dy ∧ dt−
∂t
∂D⃗
[(∇ × H⃗ − − jext) · ê(y)] dx ∧ dz ∧ dt+
∂t
∂D⃗
∇ × H⃗ − − jext · ê(x) dy ∧ dz ∧ dt, (33)
∂t
whose vanishing condition (18) yields the in-homogeneous Maxwell equations (7) and (8).
The exterior derivative operator is nilpotent, that is, successive applications of d are identically
zero. Therefore, as before(, the conservatio)n law (9) is a consequence of the structure of Maxwell’
equations, that is
2 ∂ρ
0 = d G dj ext
= ext = + ∇ · j⃗ext dx ∧ dy ∧ dz ∧ dt. (34)
∂t
Thus, we see that the differential form language appears to be tailored for electromagnetism.
Moreover, Eqs. (17) and (18) are not a mere abbreviation of their vectorial counterparts, as it may
appear from our exercise, but a profound generalization that allows us to link the local nature of the
differential equations with the global properties of their domains of definition. It is precisely this
fact the one responsible for a new set of tools that has begun to be exploited in computational
electromagnetism and, in particular, in the finite element method for solving electromagnetic
problems in topologically complicated domains [33,31,34].
From a foundational point of view, one can reverse the argument on the conservation of total
charge and take as empirical postulates the two local conservation laws
dF = 0 and dj = 0, (35)
stating the local conservation of flux and charge, respectively. These are merely the predicates of
the global postulates (15) and (16). These imply that, at least locally in M, there exist a pair of
potentials, a 1-form A and a 2-form H such that
F = dA and j = dH, (36)
where H = G + Gind, with
dG = jext and dGind = jind, (37)
implying the independent conservation of external and induced charges. Thus, the fundamental
problem in electromagnetic theory can again be stated as: given a known closed 3-form jext,
determine the closed 2-form F or, equivalently, a potential 1-form A. As before, this problem requires
additional information linking the current density flux j with the potential 1-form A, or the potential
2-form G with the field flux 2-form F , namely, a constitutive relation.
8 C.S. Lopez-Monsalvo, D. Garcia-Pelaez, A. Rubio-Ponce et al. / Annals of Physics 420 (2020) 168270
4. Geometric constitutive relations
Thus far, the differential form approach to electromagnetic theory has revealed us its topological
nature. We have not introduced any information regarding its geometry, i.e. those mathematical
structures that are preserved when a certain class of transformations is executed. The conservation
of charge and flux are topological statements that rely solely on the differentiability of the manifold
M, not assuming any further structure. However, as we have discussed at the end of the previous
section, this does not allow us to obtain the field F from the given source jext. The additional piece
of information, the constitutive relation, comes at the price of demanding further structure on M.
In this man∑uscript, we consider the case in which such structure is given by a metric tensor
n
g g dxi j
= ij ⊗ dx (38)
i,j=1
for M, i.e. the pair (M, g) be a (pseudo) Riemannian manifold.3
Same as with the dot product, a metric allows one to compute lengths of parametrized curves,
angles between directions at a given point and distances from one point to another in M inde-
pendently of the chosen coordinates. That is, these notions are invariant under a general change
of coordinates. It also serves to establish an algebraic equivalence between vectors and 1-forms by
means of the m∑usical isomorphisms,4 nam∑elyn n
g♭(V ) g V idxj
∂
= ij for any V i
= V i , (39)
∂x
i,j=1 i=1
and ∑n n
♯ ∂ ∑
g (ω) = g ijωi j for any ω i
= ωidx . (40)
∂x
i,j=1 i=1
In particu[lar, fo]r Rie∑mannian manifolds, one is the inverse of the other, that is
n
♯ ♭ ik j ∂
g g (V ) = g gkjV
∂xi
i∑,j,k=1
n
i j ∂
= δ jV ∂xi∑i,j=1
n
i ∂
= V
∂xi
i=1
= V , (41)
and, hence, the metric provides us with a canonical isomorphism between vector and forms.
A manifold can support an infinite number of metric tensors, each one prescribing a geometry.
In particular, the paths of extremal length5 connecting two different points in M may drastically
differ for each pair (M, g). In this sense, by means of Fermat’s principle, each metric tensor for M
can be considered as a material medium for the propagation of electromagnetic waves.
3 Pseudo Riemannian manifolds (M, g) are those in which the metric tensor g admits null vectors, that is, non-zero
vectors whose norm is identically zero. In such manifolds, the Laplacian operator is hyperbolic, instead of elliptic, providing
us with a suitable geometric structure to describe wave propagation.
4 The flat symbol ♭ is used to denote ‘lowering’ the indices of the components of a vector, while the sharp symbol ♯
corresponds to ‘raising’ the indices of the components of a differential form.
5 For a Riemannian manifold these a are the shortest paths, whilst for pseudo-Riemannian manifolds these may be
the longest.
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Let us begin by recalling the geometrization of electromagnetic theory in vacuum. To this end,
consider th∑e free space background metric given by
3
i j 1
η = g0ijdx ⊗ dx − dt ⊗ dt, (42)
ε µ
i 0 0
,j=1
Here ε0 and µ0 are the vacuum electric permittivity and magnetic permeability, respectively. This
background metric will be assumed to correspond to the lab space, so that the temporal basis vector
√ ∂
ulab = ε0µ0 , (43)
∂t
defining the lab’s rest frame, is normalized with respect to the lab metric, i.e.
η (ulab, ulab) = −1. (44)
A simple, homogeneous and isotropic medium at rest with respect to the lab frame can be
characteriz∑ed by a material metric of the form
3 1
g = gijdxi ⊗ dxj − dt ⊗ dt. (45)
εµ
i,j=1
Here, ε and µ are the medium’s electric permittivity and magnetic permeability, respectively,
assumed to be constants.
Notice that in the material metric, the temporal basis vector ulab is not normalized, i.e.
ε µ
g 0 0
(ulab, ulab) = − . (46)
εµ
Motivated by the structure of the constitutive relations (13), we look for a multilinear map κ
such that
G = κ[F ]. (47)
In a Riemannian manifold, there is natural isomorphism between p-forms and (n − p)-forms
associated to the metric, namely, the Hodge star operator. Thus, let us denote ∗ the Hodge duality
operator associated with the lab metric η, whilst ⋆ for the one associated with the material metric
g . Here, we only consider its action on 2-forms. As every linear map, Hodge duality is fully defined
in terms(of its action on the basis forms
(dxi j)) 1
dx dxk∗ ∧ = √ ∧ dt, (48)
ε0µ0
√
∗(dxk dt) ε µ dxi dxj∧ = − 0 0 ∧ , (49)
⋆ dxi
1
∧ dxj k
= √ dx ∧ dt (50)
εµ
and ( ) √
⋆ dxk i j
∧ dt = − εµ dx ∧ dx . (51)
From the definition of the Hodge star operator, it is straightforward to verify that
⋆F = ⋆B⎛+ ⋆ (E ∧ dt)
= ⋆⎝∑
⎞ (
3 ∑ )
3
B i j k
ijdx ∧ dx⎠+ ⋆ Ekdx ∧ dt
∑i,j=1 ( ) ∑ k=1
3 3
i j ( )
= Bij ⋆ dx ∧ dx + Ek ⋆ dxk ∧ dt
i,j=1 ∑ k=1
1 3
k √
= √ Bkdx ∧ dt i j
− εµ Ekdx ∧ dx , (52)
εµ
k=1
10 C.S. Lopez-Monsalvo, D. Garcia-Pelaez, A. Rubio-Ponce et al. / Annals of Physics 420 (2020) 168270
Therefore, the simplest constitutive relation linking the 2-forms F and G can be expressed in terms
of the Hodg√e dual operator ⋆ as
ε
G = ⋆ F . (53)
µ
Indeed, cf. exp∑ressions (28),
1 3
G k
= Bkdx ∧ dt − εEkdxi j
∧ dx
∑µ k=1
3 ∑3
H dxk dt D i j
= k ∧ − ijdx ∧ dx
k=1 i,j=1
= H ∧ dt − D, (54)
Thus, the geometric Hodge constitutive relation (53) associated with the material metric (45) is
equivalent to an homogeneous and isotropic material whose constitutive relations are
1
D⃗lab = εE⃗lab and H⃗lab = B⃗lab. (55)
µ
Here, the lab vector fields are obtained by contracting6 the 2-forms F and G with the lab frame
velocity vector field ulab. Then, using the lab metric, the resulting 1-forms are mapped to their
corresponding vector field[s by m] eans of its associated sharp isomorphism. That is,
1
E⃗ ♯
lab = −√ η ιu F , (56)
ε0µ
lab
0
1 [ ]
H⃗ ♯
lab = −√ η ιulabG (57)
ε0µ0
and [ ]
B⃗ ♯
lab = −η[ ιulab ∗]F , (58)
D⃗lab = η♯ ιulab ∗ G . (59)
Notice that, albeit (56)–(59) are vector fields over M, at each tangent space these can be directly
identified with the spatial vectors in R3 of the vector calculus formulation of electromagnetism of
Section 2. This conversion is usually missing in the literature of differential forms.
This exercise has provided us with a tool to extract the vectorial fluxes and fields from the
Faraday 2-form F and a material metric g in any coordinate system. Moreover, the normalized
temporal vector ∂
t plays the role of an observer at rest in the lab frame. Indeed, it is the tangent
∂
vector to a curve in M with no spatial components, i.e. it represents an observer spatially static
moving only in the time direction at unit speed [cf. Eq. (44)]. Eqs. (56)–(59) are the fluxes and
fields seen by a static observer in the lab frame.
Therefore, the required closure relations for Maxwell’s equations – the constitutive relation
of the medium, Eq. (53) – can be incorporated by introducing a metric tensor representing the
material. The metric is the geometry on which the electromagnetic field propagates. This feature
was recognized soon after the advent of the general theory of relativity, in which a gravitational
6 The co[ntraction of a p]−form a[nd the vector field] v is defined as [30]
ιvω u(1), . . . , u(p−1) = p · ω v, u(1), . . . , u(p−1) ,
where {u p−1
(i)}i 1 is a set of vector fields on M Thus, the contraction of a p-form with a vector field yields the p − 1-form
=
ιvω = p · ω(v).
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field appears as an optical medium from the point of view of light propagation. Expressing material
properties in terms of curved Riemannian manifolds is an active and fertile research area. In the
present work we limit ourselves to non-conducting, homogeneous and isotropic media. Moreover,
we have seen that the observer plays a fundamental role in recovering the vectorial expressions
for the fields. Indeed, the decomposition of the electromagnetic field into its electric and magnetic
parts is frame dependent, i.e. different observers measure different electric and magnetic fields.
The advantage of adopting a geometric language in formulating the constitutive relations of
electromagnetism lies in its generality. Eq. (53) is observer independent and coordinate free, that
is, it can be used in any coordinate system for any reference frame, inertial or not. Eqs. (56)–(59)
are expressions for the fields measured by a static observer in the lab frame. However, they can
be extended to any reference frame by replacing the static spacetime velocity, represented by the
temporal vector ∂
t , by any other velocity u such that g(u, u) = −1/εµ.
∂
5. The geometry of moving media
In this section, we will consider the effect of external electromagnetic fields on moving media.
To this end, we will assume that the field F is produced in the lab frame and study the induced field
G in a medium described by a metric tensor adapted to the motion of an observer embedded in the
material. Such motion defines a coordinate transformation
φ : M −→ M (60)
mapping the material lab metric g into its moving version
h ∗
= φ (g) (61)
which, by a fortuitous linguistic accident, is called the induced metric by the map φ. Every geometric
expression obtained in the differential form language preserves its form under such transformations.
Let us begin by considering two simple examples, corresponding to a Galilean and Lorentzian
motions, respectively, and then we consider non-inertial motions of the medium, namely, Galilean
and relativistic rotating frames. In all cases, we consider a general electromagnetic field 2-form F
[cf. Eqs. (20), (25) and (28)], such that
B⃗lab = Bxê(x) + Byê(y) + Bz ê(z) and E⃗lab = Exê(x) + Eyê(y) + Ez ê(z). (62)
5.1. Galilean inertially moving media
Consider a medium moving along the x direction with constant velocity v. The change of
coordinates associated with such a motion is given, naively, by the Galilean transformation
⎜⎛ ⎟⎞ ⎜⎛ ⎞
φ⎝ x
y
z ⎠ = ⎝ x + vt
y ⎟
z ⎠ (63)
t t
From the lab’s point of view, the medium is described by the material metric in the moving
coordinates
1 ( )
h = dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz + v (dx ⊗ dt + dt ⊗ dx) 2
− 1 − v εµ dt ⊗ dt . (64)
εµ
Note that in these coordinates, the material metric is well defined only when
v2 1
< , (65)
εµ
that is, when the velocity of the motion is less than the speed of light in the medium.
The components of the vectorial electromagnetic fields induced in the moving medium as seen
by the static ob(server in the lab fram)e [cf. E(qs. (56)–(59)])are
D⃗lab = ε Exê(x) + Eyê(y) + Ez ê(z) + εv Bz ê(y) − Byê(z) (66)
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and
Bx 1 ( 2 ) ( ) ( )
H⃗lab = ê(x) + 1 − v εµ Byê(y) + Bz ê(z) + εv Ez ê(y) − Eyê(z) (67)
µ µ
From these expressions we can read the c⎛orresponding entries of the c⎞onstitutive relations (13).
That is, ( 1 0 0 )
1 1 0 0
ε̄ ε 0 1 0 , µ̄−1 ⎝ 0 1 v2
= = − εµ 0 ⎠ (68)
0 0 1 µ 0 0 1 2
− v εµ
and ( 0 0 0 )
ζ̄ = χ̄ = εv 0 0 1 . (69)
0 −1 0
Observe that, for the purely electric part the medium remains homogeneous and isotropic, whilst
for the magnetic field it appears to be anisotropic in the directions orthogonal to the motion. It
also appears a non-vanishing magnetoelectric matrix. Thus, from the lab point of view, when the
external field is purely electric, the induced magnetic field is perpendicular and rotating around the
direction of motion. Similarly, when the externally applied field is purely magnetic, the induced
electric field has the same properties as its magnetic counterpart. Such effect depends on the
velocity of displacement of the medium with respect to the lab frame, which must satisfy (65).
These results are consistent with the classic results of electromagnetism in moving media, where
the magnetoelectric effect is characterized by a term proportional to v⃗ × B⃗ for the electric part and
v⃗ × E⃗ for the magnetic counterpart.
5.2. Lorentzian inertially moving media
Same as in the p⎛revious example, we consider a motion along the x direction, but this time by
means o⎛f the t⎞ransformat(ion )
⎜ ⎟ ⎜ 1 2 −1 2 ⎞
/
⎝ x ⎠ ⎜ − v ε0µ0 (x + vt)
y
φ z = ⎝ ⎟
( ) y ⎟
z ⎠ (70)
t 1 −1/2
− v2ε0µ0 (t + vx ε0µ0)
In this c⎛ase, the mater⎞ial metric becomes
⎝ 2 2
1 v2 ε
− 0 µ0
h εµ
= ⎠ dx ⊗ dx + +dy ⊗ dy + dz ⊗ dz
1(− v2 ε0µ0 )
1 ε µ
− 0 0
εµ
+ v ( 2 )(dx ⊗ dt + dt ⊗ dx)
1 − v ε0µ0
1 1 v2
− εµ
− 2 dt ⊗ dt. (71)
εµ 1 − v ε0µ0
Again, these metric is well defined when (65) is satisfied. Notice that, albeit (45) is indeed a
Minkowski metric, the speed of light of the medium is, in general, different from that in vacuum.
Indeed
ε0µ0
≤ 1, (72)
εµ
that is, the speed of light in the medium ought to be less than the speed of light in vacuum.
Therefore, although Lorentz transformations leave the vacuum metric (42) invariant, they do change
the material metric.
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The static observer m⎛easures the ve⎞ctorial electromagnetic fields
⎝ 2
1 2 ε0µ2
− v 0
D⃗ E ê εµ ( )
lab = ε x (x + ε ⎠ E ê + E
() 1 2) y (y) z ê(z)
− v ε0µ0
1 ε µ
− 0 0
εµ ( )
+ vε
1 − v2 Bz ê(y) − Byê(z) (73)
ε0µ0
and ( )
1 1 1 − v2 εµ ( )
H⃗lab = Bxê((x) + )2 Byê(y) + Bz ê1 (z)
µ µ − v (ε0µ0
1 ε0µ
− 0
εµ )
+ vε 2 Ez ê(y) − Eyê1 (z) (74)
− v ε0µ0
Therefore, in this case, the relative motion between the lab and the medium makes the material
appear to th⎛e lab observer as
⎜⎜ 1 0 0 ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ε2 2 1 0 0
1−v2 0µ0
⎝ ⎟
0 εµ 0 ⎟ 1 1 ⎜ 0 1 v2− εµ ⎟
ε̄ = ε 1−v2
− 0
ε0µ0 ⎠⎟ , µ̄ = ⎝ 1−v2 ε µ ⎠ (75)
2 2 µ 0 0
2
1 v2
ε µ 1−v εµ
− 0 0 0 0
0 0 εµ 1−v2 ε0µ0
1−v2 ε0µ0
and ( )( )
1 ε µ
− 0 0 0 0 0
εµ
ζ̄ = χ̄ = vε 0 0 1 . (76)
1 − v2 ε0µ0 0 −1 0
We see that the permitivity and permeability matrices are now anisotropic, while the magne-
toelectric matrix preserves its former structure. Note that in the Newtonian limit, the constitutive
relations for the Galilean transformation, Eqs. (68) and (69), are recovered. Notice as well that in the
limit when the speed of light in the medium coincides with that of vacuum, the medium becomes
isotropic again and the magnetoelectric term vanishes. This shows the invariance of the vacuum
with respect to Lorentz transformations.
Hence, what it might have appeared at first glance as a simple exercise in special relativity, it has
revealed us that media in relative inertial motion acquires non-trivial electromagnetic properties
as seen from another inertial frames. This does not say that the physical reality depends on the
coordinates, it merely states that the constitutive relations for a simple medium in the non-covariant
vector calculus lab frame are different when the medium is in relative motion.
5.3. Uniformly accelerating medium
Now we consider the medium undergoing uniform acceleration. This is the simplest form of
non-inertial motion. Let us consider that the motion occurs along the z-axis with an acceleration
α, as in ⎛free fa⎞ll in⎛a uniform Newtonian gravitational field. The transformati⎞on is written as
⎜⎝ x x
y ⎟
φ z ⎠ ⎜
= ⎝ [
( [ ] (y√ ) ⎟
)−1 z cos]h ( t )( )−1 ⎠ . (77)
αε0µ0 + ε0µ0 α − αε0µ0
t √ √
ε0µ0 (αε0µ )−1
0 + z sinh ε0µ0 αt − (αε −1
0µ0)
This coordinates are adapted to a uniformly accelerated observer and only cover a subset of the
entire M referred as the Rindler wedge.
14 C.S. Lopez-Monsalvo, D. Garcia-Pelaez, A. Rubio-Ponce et al. / Annals of Physics 420 (2020) 168270
The material m[e(tric takes th)e more elaborate f]orm
√ ε0µ0 1 1 (√ ) (√ )
h = ε0µ0 1 − αz − − sinh ε0µ0 αt cosh ε0µ0 αt
εµ ε0µ0 εµ
× [(dz ⊗[d(t + dt ⊗ dz)) ( ) ( )]
ε0µ
ε µ( 1 ) 0
α2 2 1 1 1 1 1
− 0 0 − z − 2 + αz + −
εµ ε0µ0 εµ ε0µ0 ε0µ0 εµ
√
× cosh ε0µ0 αt ]
1 2
− [( (1 − α)zε0µ0) dt ⊗ dt + dx ⊗ dx + dy ⊗ dy+
ε0µ0 ]
ε µ (√ ) ε µ
+ 1 0 0
− cosh2 0 0
ε0µ0 αt + dz ⊗ dz, (78)
εµ εµ
where we ha(ve the mo)re co(mplicated)restriction−1
√ ε µ
cosh2 0 0
ε0µ0 αt < 1 − (79)
εµ
for the metric to be well defined.
The induced[f(ields measure)d by the lab observer are ]
1 ε
− 0µ0 ( ( )
√ ) ε µ 1 ( )
D⃗ εµ
lab = ε [ ( cosh2 0 0
ε µ αt + E ê + E ê
1 z ) 0 0 x (x) y (y)
+ α ε0µ0 ( ε)µ 1(+ αzε0µ0 ]
1 ε0µ0 √ √ ) ( )
+ ε √ 1 − sinh ε0µ0 αt cosh ε0µ0 αt Byê(x) − Bxê(y)
ε0µ0 εµ
εEz
+ ê(z) (80)
1 + αzε0µ0
and ( )[( ) ]
1 + αzε µ εµ
H⃗ [ 0 0( 1 ) cosh2 (√ ) εµ ( )
lab = − ε0µ0 αt + B
( ]xê(x) + Byê(y)
µ ε0µ0 ε0µ0
1 ε0µ0 √ ) (√ ) ( )
+ (ε √ 1)− sinh ε0µ0 αt cosh ε0µ0 αt Eyê(x) − Exê(y)
ε0µ0 εµ
1 + αzε0µ0
+ Bz ê(z). (81)
µ
In this case, the constitutive relations are much more complicated. In particular, notice that the
medium no longer appears to be homogeneous, there is a linear dependence on the height and,
moreover, it also seems to be time dependent. This is not surprising, since now we aremeasuring the
induced fields in a non-inertially moving medium from the point of view of an inertial frame. Indeed,
when the acceleration α is zero, we recover our original homogeneous and isotropic medium.
The transformation considered in this section is fully consistent with special relativity. To gain
some Newtonian intuition, let us consider the small acceleration limit. In this case, the induced
fields take⏐⏐the form
D⃗lab⏐ ( )
= ε (1 − αzε0µ0) Exê(x) + E
1 ( ) yê(y) + Ez ê(z)
αt≪√
ε2µ2
0 0
ε µ
t 1 0 0 ( )
+ εα − Byê(x) − Bxê(y) (82)
εµ
C.S. Lopez-Monsalvo, D. Garcia-Pelaez, A. Rubio-Ponce et al. / Annals of Physics 420 (2020) 168270 15
and ⏐ 1 ( )
H⃗ ⏐
lab⏐ = (1 + αzε0µ0) Bxê(x) + Byê(y) + Bz ê(z)
αt 1
≪√ µ
ε2µ2
0 0 ( )
ε µ ( )
+ εαt 1 0 0
− Eyê(x) − Exê(y) . (83)
εµ
In this limit, the medium becomes isotropic but remains inhomogeneous while the strength of the
magnetoelectric effect is modulated by the ratio between the speed of light in the medium and
that of the vacuum. The slower the speed of light in the medium, the greater the magnetoelectric
effect. Interestingly, in the limit when εµ = ε0µ0, that is, when the moving medium is the vacuum,
the medium is once again isotropic with a vanishing magnetoelectric matrix. However, it is still
inhomogen⏐⏐eous, i.e(. )
1 ( )
D⃗lab⏐ = ε Exê1 z (x) + Eyê(y) + Ez ê(z) (84)
vac + α ε0µ0
and
H⃗ ⏐⏐⏐ 1 ( )
lab = (1 + αzε0µ0) Bxê(x) + Byê(y) + Bz ê(z) . (85)
vac µ
This result for the vacuum case can be read in its complementary sense, that in which the
observer is the one accelerating. In such case, there is an inhomogenous apparent polarization and
magnetization of the vacuum.
5.4. Galilean rotating media
We now study another class of non-inertially moving medium. We shall consider a frame rotating
in a Galilean fashion, followed by a rotating frame consistent with the tenets of relativity. For
simplicity, let us assume that the rotation is about the z axis. Therefore, in this section we work in
with the metrics (42) and (45), transformed into cylindrical coordinates, that is
1
η = dr ⊗ dr r2+ dϕ ⊗ dϕ + dz ⊗ dz − dt ⊗ dt (86)
ε0µ0
and
1
g = dr dr r2⊗ + dϕ ⊗ dϕ + dz ⊗ dz − dt ⊗ dt, (87)
εµ
respectively.
In this coordinates, the electromagnetic 2-form is written as
F 2
=Erdr (∧ dt + r Eϕdϕ ∧ dt + Ezdz ∧ dt )
+ r Bzdr ∧ dϕ − Eϕdr ∧ dz + Erdϕ ∧ dz , (88)
where
Er = Ey sin(ϕ) + Ex cos(ϕ) (89)
Eϕ = Ey cos(ϕ) − Ex sin(ϕ) (90)
and
Ez = Ez, (91)
while
Br = Bx cos(ϕ) + By sin(ϕ), (92)
Bϕ = By cos(ϕ) − Bx sin(ϕ), (93)
16 C.S. Lopez-Monsalvo, D. Garcia-Pelaez, A. Rubio-Ponce et al. / Annals of Physics 420 (2020) 168270
and
Bz = Bz . (94)
Thus, it is straightforward to verify that
ê ê
E⃗lab = Er ê(r) + E (ϕ) (ϕ)
ϕ + Ez ê(z) and B⃗lab = Br ê(r) + Bϕ + Bz ê(z). (95)
r r
The Galilean transformation corresponding to a uniformly rotating frame with angular velocity
ω is give⎛n by
⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎝ r r
ϕ ⎠⎟ ⎜⎝ ϕ + ωt ⎟
φ z = z ⎠ (96)
t t
The metric for the moving medium becomes
h = dr ⊗ dr 2
+ r d(ϕ ⊗ dϕ + r2)ω (dϕ ⊗ dt + dt ⊗ dϕ)
1
+ dz ⊗ dz r2ω2
− − dt ⊗ dt . (97)
εµ
Now the coordinates covering M must satisfy is the restriction
r2ω2 1
< . (98)
εµ
This is a constraint implying that the tangential velocity cannot be larger than the speed of light in
the medium.
Now, the in(duced fields are )
ê(ϕ) ( )
D⃗lab = ε Er ê(r) + Eϕ + Ez ê(z) + εrω Br ê(z) − Bz ê(r) (99)
r
and
Bϕ ê
H⃗ (ϕ) 1 (
1 r2 2 ) ( ) [ ]
lab = + − ω εµ B ê + B ê + rεω E ê − E ê . (100)
µ r r (r) z (z) r (z) z (r)
µ
To obtain the constitutive matrices as in the previous case, we consider the inverse cylindrical
coordinates tra(nsformation. Thus, in )Cartesia[n coordinates we h(ave ) ]
D⃗lab = ε Exê(x + Eyê(y) + Ez ê(z) − εω Bzxê(x) + Bzyê(y) − Bxx + Byy ê(z) (101)
and
1 [( ) (
H⃗ 1[ x2ω2εµ B ê ( 1 y2ω2 ) ( 2 2 ) ]
lab = − x (x) + − )εµ ]Byê(y) + 1 − r ω εµ Bz ê(z)
µ
− εω Ezx(ê(x) + Ezyê(y) −) Exx + Eyy ê(z)
xyω2
− ε Byê(x) + Bxê(y) (102)
Therefore, th(e constitutiv)e relations are expressed as
1 0 0
ε̄ = ε 0⎛ 1 0 , ⎞ (103)
0 0 1
2 2 2
1 ⎝ 1 − x ω εµ −xyω εµ 0
µ̄−1
= 2
−xyω εµ 1 y2ω2
− εµ 0 ⎠ , (104)
µ 0 0 1 2 2
− r ω εµ
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while, the magnetoel(ectric matrix is g)iven by
0 0 x
ζ̄ = χ̄ = −εω 0 0 y . (105)
−x −y 0
This constitutive matrices describe a trivial permittivity but a much more complex permeability
which, in this case, is inhomogeneous and anisotropic. This, however, is only noticeable far from
the axis of rotation, when the tangential velocity approaches the speed of light in the medium.
However, note that the magnetoelectric matrix in non-negligible for any angular velocity.
5.5. Relativistic rotating media
Considering the material rotating as before, but now, we will transform the coordinates of the
moving medium taking into account special relativity for the rotation [35]. In this case, for a given
angular velocity ω, there is a maximum distance R to the axis of rotation. This corresponds to the
upper bound for the radial coordinate such that the norm of the tangential velocity is less than the
speed of light in vacuum. Here, R is a metric parameter. Each value of R and ω yield a different
metric. These coordinates only cover a region of Minkowski spacetime and there is a horizon for
each val⎛ue of R⎞and⎛ω. Thus, let us consider the tra⎞nsformation
1
⎜ r(1 R2ω2
− ε µ ) 2
⎝ r
ϕ ⎟
φ z ⎠ ⎜⎜ 0 0
⎝ 1
(ϕ 2
− ωt)(1 − R ω2ε0µ0)− 2 ⎟
= ⎟ (106)
z ⎠
t 1
t(1 − R2ω2ε0µ0) 2
As many authors have noted, this is not the only possibility for describing a rotating reference frame.
This is indeed a timely problem and there are numerous presentations of the paradoxes and issues
associated with relativistic rotating frames.
The ind(uced material m) etric takes the form
h = 1 R2
+ ω2ε0µ[0 dr ⊗ dr +(r2dϕ ⊗ dϕ 2
+)]r ω (dϕ ⊗ dr + dt ⊗ dϕ)
1 2
dz dz R2ω2 r ε0µ0
+ ⊗ − − 2 − dt ⊗ dt. (107)
εµ R εµ
Note that this metric has a richer structure than our previous example. For instance, the parameters
R and ω must satisfy the restriction that the tangential velocity never exceeds that of light in
vacuum, that is
1
R2ω2 < . (108)
ε0µ0
In addition, we can see th(at these)coordinates only cover the region where
2 2 1 2 2 ε0µr 0
ω < − R ω . (109)
εµ εµ
Such bound can be regarded as the maximum tangential speed the material can attain. Moreover,
note that in the limit where the tangential velocity Rω coincides with the speed of light in the
vacuum, the region degenerates to a point. However, in the non-relativistic limit, namely, when
R2ω2 √
≪ 1/ ε0µ0, (107) reduces to the Galilean rotating metric (107). Finally, as expected, in the
limit when ω vanishes we return to the static metric (86).
The vectoria[l(induced electro)magnetic fields measure]d in the lab frame are
1 ê
D⃗ [ E ê E (ϕ)
lab = ε
1 r (r) + ϕ + Ez ê(z)
+ R2ω2ε0(µ0 )r ]
1
+ εωr Br ê(z) − B ê (110)
1 R2 2 z (r)
+ ω ε0µ0
18 C.S. Lopez-Monsalvo, D. Garcia-Pelaez, A. Rubio-Ponce et al. / Annals of Physics 420 (2020) 168270
and [ ( 2 )]
1 r ε µ ( ) B ê
H⃗lab = 1 −[(R2 0 0 ϕ (ϕ)
ω2εµ 2 − ) Br ê(r) ]+ Bz êR (z) +
µ εµ µ r
1
+ εωr 2 2 Er ê(z) − Ez ê(r) . (111)
1 + R ω ε0µ0
Again, i(t is not difficult)to[e(xpress these field)s in Cartes(ian coordinates ) ]
ε R2 R2
D⃗lab 2 2 (1 + 2 ω2y2ϵ 2 2
0µ0 Ex)ê(x) + 1 + 2 ω x ϵ0µ0 Eyê1 (x)
+ R ω ε0µ0 r ( r
2
2 R ε µ )
+ εEz[ê((z) − εω xy ( 0 0
) ) E
2 2 2 yê(x) + Exê(y)
r 1 + R ω ε0µ0 ]
1 ( ) ( )
− εω 2 2 xBz ê(x) + yBz ê(y) − xBx + yBy ê(z) (112)
1 + R ω ε0µ0
and
1 [ (
H⃗ ω2εµ x2y2 x4
) ( ) ]
lab = 2 [ ( − +) 1(+ R2ω2ε0µ x2 B
r 0
µ
1 2 2 2 4 2 2 ) 2]
xê(x)
+ 2( ω εµ x y −)y[ + 1 + R(ω ε
r 0µ0 y B)y]ê(y)µ
1 1 2 R2 ε0µ0
+ ( 2 2 )1 − r εµ 1 − 2 Bz ê1 R ( )r (z)
µ + ω ε0µ0 εµ
2
εω2 R ε µ
− [xy 1 0 0
− B ê + B ê
( r2 ) y( (x) x (y)
εµ )
1 ( ) ]
− εω xEz ê(x) + yEz ê(y) − 2 2 xE + yE ê . (113)
1 R x y (z)
+ ω ε0µ0
This frame yields a highly non-trivial material medium as seen from the lab frame. In particular,
note that in all cases the behavior of the magnetic part is significantly different from the electric
one. Furthermor⎛e, this example shows tha⎞t the magnetoelectric matrices can differ. Indeed
⎝ 0 0 x
1+R2ω2ε0µ0
ζ̄ = −εω 0 0 y ⎠
1 (114)
+R2ω2ε0µ0
−x −y 0
whilst ⎛
χ̄ = −εω⎝
⎞
0 0 x
0 0 y ⎠ . (115)
−x −y 0
1+R2ω2ε0µ0 1+R2ω2ε0µ0
Hence, the lesson this exercise exhibits is that, while the medium at rest can indeed be as simple
as possible, its motion renders a more complicated material structure. That is, we can think of the
moving material as an equivalent medium at rest in the lab frame but with a much more elaborate
constitutive relation. Moreover, the calculations are simple contractions and canonical mappings
between differential forms and vector fields, showing the power of the geometric formalism in
obtaining the non-covariant components of the induced fields in R3 along with their constitutive
matrices.
6. A non-trivial medium
For completeness, we explore a non-trivial medium, i.e. one whose metric yields a non-zero
curvature and which has been studied in the context of transformation optics and analogue
C.S. Lopez-Monsalvo, D. Garcia-Pelaez, A. Rubio-Ponce et al. / Annals of Physics 420 (2020) 168270 19
gravity [36]. Let us consider a fisheye lens, an [optical medium whose geo]metry is equivalent to
that of the Einstein universe ( )
1 k 2
Λ 4
g dx dx dy dy dz dz x2 y2 2
Λ = ⊗ + ⊗ + ⊗ − + + + z dt ⊗ dt (116)
εµ 16 k
where k is a constant representing the Gaussian curvature of the space and Λ is the cosmological
constant [37]. Note that this geometry is not flat, as in the previous cases. In particular, its curvature
is completely specified by its Ricci scalar
12
S = − 4 . (117)
+ x2k + y2 + z2
The metric (116) is written in isotropic cartesian coordinates, allowing us to read directly the
effective velocity of light in the medium [cf. Eq. (45)]. In particular, the refractive index is
2 9kΛ εµ
n = 2 . (118)
S ε0µ0
In this case, the geometry corresponds to a non-homogeneous medium, as can be directly verified
by the corresponding rest frame induced fields
( 4ε 1 S
D⃗lab = )√ E⃗ = − √ ε E⃗
4 2 2 2 lab 3 lab (119)
k + x + y + z kΛ kΛ
and ( √
4 )
x2 y2 2 √
k + + + z kΛ 3 kΛ
H⃗lab = B⃗lab = − B⃗
4 S lab. (120)
µ µ
Thus, the lab frame pe(rmitivity and)permeability matrices are
√ ( )
1 S 1 0 0
1 3 k 1 0 0
Λ
ε̄ −
= − √ ε 0 1 0 and µ̄ = − 0 1 0 . (121)
3 kΛ 0 0 1 µ S 0 0 1
The transformations studied throughout the manuscript render the algebraic expressions for the
induced metric and fields rather cumbersome with little conceptual value. It is a mere exercise in
differential geometry to obtain them. Moreover, since the expressions presented here are coordinate
free, we are guaranteed that all the coordinate expressions are indeed self consistent within the
formalism. Nonetheless, let us consider the Galilean transformation to a rotating frame presented
in Section 5.4. In this fra[me, the induced fields]as seen by the lab observer become
1 S
D⃗lab = − √ ε E[xê3 (x) +( Eyê(y) + Ez ê
kΛ
1 S )(z) ( ) ]
− √ ωε −Bz xê(x) + yê(y) + Bxx + Byy ê(z) (122)
3 kΛ
and
√ [( ) ( ) ]
3 kΛ S2 S2 S2
H⃗ 1 2 2 2 2 2 2
lab = − [( − ω εµx )+ (ω (x + y )εµ) By]− ω εµxy B ê
S 9k 9k 9k x (y)
µ Λ Λ Λ
√
3 kΛ S2 S2
− [ 1 − ω2εµx2 Bx −] ω2εµxy B ê
µ S 9k 9k y (x)
Λ Λ
√
3 kΛ S2
1 ω2(x2 y2− [− ( + ))εµ( Bz êS 9k (z)
µ Λ
1 S ) ]
− √ ωε −Ez xê(x) + yê(y) + Exx + E y ê
3 y (z) . (123)
kΛ
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Again, we can simply read the corresponding constitutive matrices for the moving medium as
seen in the lab frame. Thus, we see that the permitivity matrix remains the same as in (121), while
the permeability matrix becomes
µ̄−1
√
3 kΛ
= −
µ S
⎜⎛ ⎞
2
⎝ 1 S ω2εµx2 S2 2
− 9k 9k ω εµxy 0
Λ Λ
S2× ω2 2
εµxy 1 S ω2 2 S2 2 2 2
9k − 9k εµx + 9k ω (x + y )εµ 0 ⎠⎟ .
Λ Λ Λ
S20 0 1 2
− 9k ω (x2 2
+ y )εµ
Λ
(124)
Note that the non-trivial terms in this expression are quadratic in the angular velocity. Therefore,
for small tangential velocities compared with the speed of light in the medium the permeability
reduces to that in (121).
Finally, similar to Eq. (105() in 5.4, the m)agnetoelectric matrices are
1 S 0 0 −x
ζ̄ = χ̄ = − √ ωε 0 0 −y . (125)
3 kΛ x y 0
In this last example, we obtained – as expected – similar results as those of 5.4. However, note
that the curvature plays a central role in the constitutive relations. Therefore, this exercise allows
us to see the effectiveness of the formalism in obtaining explicit coordinate expressions for the
constitutive matrices of a medium moving in an arbitrary reference frame. Finally, note that for the
slow velocity regime the refractive index remains unchanged, in spite the magnetoelectric matrices
are not negligible.
7. Closing remarks
In this work, it was our aim to present to a broader readership the geometric techniques
in electromagnetic theory. In particular, we addressed a subtle and timely subject, that is, the
transformation of the constitutive relations for arbitrarily moving media. We considered the case
of familiar motions in both, the more intuitive Galilean framework and the one consistent with the
tenets of special relativity, whose symmetry is precisely that stemming from electromagnetism.
We began with a brief summary of college electromagnetism followed by its modern formulation
in terms of differential forms. We noted that Maxwell’s empirical postulates are of topological
nature on a differentiable manifold. There is no need of an additional geometric structure. However,
as a field theory problem, i.e. determining the fields from the known external sources, we need a
link between the two postulates [cf. Eqs. (15) and (16)]. In the simplest case, such a link is linear. It
has been argued that it may appear as a curvature-like tensor [7,8]. Such approach, is more general
than the metric based considerations followed in this manuscript. Nevertheless, with no canonical
way of mapping differential forms to vector fields, it is conceptually harder and there would be
no natural way to recover the vectorial components of the electromagnetic fields. Thus, in this
manuscript, we postulated the constitutive relations through the Hodge duality associated with
the metric characterizing the medium [17]. We provided explicit formulae for the spatial vector
fields (in R3) measured by the lab observer. This connection with the old fashioned – yet widely
used – vector calculus formulation of electromagnetism in media is, to the best of our knowledge,
not widely known. Moreover, the calculation is coordinate independent and can be adapted to an
arbitrary observer.
We used the expressions of the lab frame spatial vector fields, Eqs. (56)–(59), to compute the
induced fields in a homogeneous and isotropic medium when it is set in distinct types of motion.
Such motions are given in terms of changes of coordinates acting on the material metric, alone.
The induced fields G are computed by applying the Hodge constitutive relation of the transformed
C.S. Lopez-Monsalvo, D. Garcia-Pelaez, A. Rubio-Ponce et al. / Annals of Physics 420 (2020) 168270 21
metric to the untransformed external 2-form F , Eq. (53), and then contracting the result with the lab
frame velocity and using the lab metric sharp isomorphism to obtain the desired vectors. A similar
‘mixed’ approach for the vector calculus formulation can be found in Section 9-5 of [38].
As it may appear that other efforts have been successful in describing the electromagnetic
fields when the medium is in motion [39,40], we tackled a different problem. In this work, we
exhibited the explicit form of the induced electromagnetic fieldsmeasured by a static observer when
the medium moves in an arbitrary fashion. Moreover, we recovered the coordinate expressions
for the permittivity, permeability and magnetoelectric matrices for non-inertial motions even for
non-trivial media.
In the case of the Galilean inertially moving media, for the purely electric part, the permittivity
of the medium remains homogeneous and isotropic while there is also an induced magnetic
field rotating around the direction of the motion and whose magnitude depends on the velocity
of displacement of the medium. This is the magnetoelectric effect and is expressed as a non-
vanishing magnetoelectric matrix [cf. Eq. (13)]. In contrast, the purely magnetic field generates
an anisotropic permeability matrix and, similarly to the electric case, a rotating induced electric
field is obtained. For the Lorentzian transformation of coordinates, both matrices, permittivity and
permeability became anisotropic, while the magnetoelectric matrix is merely a rescaling from its
Galilean counterpart. In the limit when the speed of light in the medium coincides with the one in
vacuum, the medium returns to be isotropic and the magnetoelectric matrix vanishes, showing the
invariance of the vacuum with respect to Lorentz transformations.
We also considered a medium undergoing uniform acceleration. This resulted in a material which
is inhomogeneous, anisotropic and time-dependent. This showed us that, even in the simplest form
of non-inertial motion, the medium becomes already very complex from the point of view of an
inertial frame of reference.
In the case of a rotating medium, for the Galilean-like transformation, the permittivity matrix
remained the same as in the static lab frame. However, as in the slow acceleration case, the perme-
ability matrix is inhomogeneous and anisotropic. The magnetoelectric matrix is also inhomogeneous
and its effects can be observed for any angular velocity ω. If we also take into account special
relativity in the definition of the transformation, the rotating medium yields a highly non-trivial
equivalent material as seen from the lab’s rest frame.
Hence, this work presents an algebraic method to obtain the constitutive matrices for moving
media as measured by an inertial observer. In particular, this tool provides us, in a completely
covariant manner, with a way to compute the induced vector fields on such media. Moreover,
this same methodology can be applied to more complicated materials – those described by curved
geometries – in arbitrary motion without further modification.
Declaration of competing interest
The authors declare that they have no known competing financial interests or personal relation-
ships that could have appeared to influence the work reported in this paper.
Acknowledgment
DGP is funded by a CONACYT, Mexico Ph.D. Scholarship CVU 425313.
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Mathematical Physics ARTICLE scitation.org/journal/jmp
Light propagation through optical media
using metric contact geometry
Cite as: J. Math. Phys. 63, 073504 (2022); doi: 10.1063/5.0087143
Submitted: 1 February 2022 • Accepted: 20 June 2022 •
Published Online: 18 July 2022
D. García-Peláez,1 ,2,a) C. S. López-Monsalvo,1 and A. Rubio Ponce1 ,3
AFFILIATIONS
1 Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco, Avenida San Pablo Xalpa 180, Azcapotzalco, Reynosa Tamaulipas,
02200 Ciudad de México, Mexico
2Universidad Panamericana, Tecoyotitla 366, Col. Ex Hacienda Guadalupe Chimalistac, 01050 México D.F., Mexico
3Departamento de Física, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, AP 14740,
CP 07300 Ciudad de México, Mexico
a)Author to whom correspondence should be addressed: dgarciap@up.edu.mx
ABSTRACT
In this work, we show that the orthogonality between rays and fronts of light propagation in a medium is expressed in terms of a suitable
metric contact structure of the optical medium without boundaries. Moreover, we show that considering interfaces (modeled as boundaries),
orthogonality is no longer fulfilled, leading to optical aberrations and, in some cases, total internal reflection. We present some illustrative
examples of this latter point.
Published under an exclusive license by AIP Publishing. https://doi.org/10.1063/5.0087143
I. INTRODUCTION
Geometric optics has acquired a renewed interest in theoretical and applied physics. The inception of geometric techniques and methods
to control the path of light inside a medium provided us with the foundation of new material science. Arising in the context of gravitational
lensing, the geometric studies regarding the principles of Fermat and Huygens brought a new perspective in the understanding and modeling
of wave phenomena in non-trivial media.
Soon after the advent of general relativity, it was observed that the gravitational field bends the path followed by a light ray. This was
confirmed by Eddington after noting that the apparent position of the stars is shifted from their expected position in the sky when observed
during a solar eclipse. This bending phenomenon is analogous to the deviation of light rays while traversing a medium whose refractive index
changes from one place to the other. In this sense, it was shown that a class of optical media can be modeled by means of a metric tensor
encoding its electromagnetic properties.1–3 Furthermore, this analogy has evolved into the very active field of transformation optics, where
the techniques and tools of differential geometry—which have been insightful in gravitational physics—have found its way into the more
applied area of material science.4–7 In addition, this has also been used in modeling analog gravitational spacetimes, such as black holes and
cosmological solutions,8–11 or in approximating curved spaces by N-dimensional simplices in order to describe light propagation on them.12
Fermat’s principle poses a well-known problem in the calculus of variations. In the non-relativistic setting—where the notion of time is
absolute and universal—it states that light travels between two given spatial locations following a path minimizing a time functional. Such a
perspective is clearly untenable in the context of general relativity, where it is commonly replaced by the assumption that the path taken by
light in traveling from one location to another corresponds to a null geodesic. However, albeit it remains a variational problem, its precise
formulation is far more elaborate (see Theorem 7.3.1 in Ref. 13).
Similarly (cf. Theorem 7.1.2 in Ref. 13), Huygens’ principle is centered in the idea of light emissions being simultaneous for different
observers at each moment in time.14 In this way, light emission is described by well-localized wavefronts as they travel through three-
dimensional space. In the relativistic setting, the electromagnetic field at a precise event in spacetime depends on initial conditions originated
from its past null cone.15 This has led to explore different wave phenomena where Huygens’ principle is not fulfilled, most of which are due
to dissipation processes16,17 where the wave distribution has no converging tails.
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In recent years, contact geometry has become a unifying framework for various physical theories, e.g., it provides a solid foundation for
thermodynamics, non-conservative classical mechanics, and electromagnetic fields, among other applications.18–24 In particular, it has been
used to exhibit an explicit correspondence between principles of Fermat and Huygens.25 In this sense, the aim of this work is to explore the
use of contact transformations in the description of light propagation in optical media.
Here, we assume that an optical medium can be represented by a Riemannian manifold (ℬ, g), where ℬ is considered to be the space
occupied by a material embedded in spacetime, while g is its corresponding optical metric. Moreover, the geodesic flow in its unitary tangent
bundle can be represented by a contact transformation acting on its space of contact elements. This fact allows us to describe the wavefront
evolution in an optical medium solely in terms of the contact transformation and to reconstruct the geodesic flow from the Reeb vector
field. This provides us with a way of constructing wavefronts in optical media without directly solving the wave equation. This approach
is particularly useful in exploring the relationship between rays and fronts as they move across interfaces. While this is simply expressed
as Snell’s law in homogeneous materials, we will show that this construction helps in visualizing phenomena such as aberration and total
internal reflection in a broader class of geometries. Such techniques may prove to be useful from astrophysics, as light propagates through the
intergalactic/galactic media, to the geometric optics of interfaces.
This article is structured as follows. In Sec. II, we recall the construction of a material manifold as the quotient space given by the orbits
of the static lab observer. Then, in Sec. III, we establish the relation between the unitary tangent bundle and the space of contact elements. In
Secs. IV–VI, we provide three specific examples for wavefront evolution in an optical medium by means of a contact transformation. The first
two are optical media with the Euclidian geometry in two and three dimensions. The results agree with Fermat’s principle and recreate Snell’s
law of refraction. The third example is a two-dimensional optical medium endowed with a hyperbolic geometry.
II. THE MATERIAL MANIFOLD
To model an optical medium, we will use a Riemannian manifold (ℬ, g) submersed in a bi-metric Lorentzian spacetime (M, g0, g̃),
where g0 is the background vacuum spacetime metric, while g̃ represents the metric encoding the material properties of an optical medium.
In this setting, the four velocity of the static observer in the lab frame u ∈ TM satisfies7
1
g0(u, u) = −1 and g̃(u, u) = − , (1)
n2
where n > 1 is the refractive index of the medium. In this way, the speed of light in the medium is clearly less than that in the vacuum
background spacetime. We use the vacuum metric g0 to raise lower indices by means of musical isomorphisms,
g♭0 : TM Ð→ T∗M and g♯ : T∗0 M Ð→ TM. (2)
Every non-spacelike vector field w ∈ TM can be decomposed in terms of the optical metric g̃ as
w = Hor(w) +Ver(w), (3)
where Hor(w) and Ver(w) represent the transverse and parallel components of w with respect to the lab frame u, respectively. Thus, every
null vector field v such that
Ver(v) = Ωu (4)
for some non-vanishing function Ω on M satisfies
g̃(v, v) = g̃(Hor(v), Hor(v)) + g̃(Ver(v), Ver(v)) = g̃(Hor(v), Hor(v)) + g̃(Ωu, Ωu) = g̃(Hor(v), Hor(v)) − Ω2
2 = 0 (5)
n
so that
g̃(Hor(v), Hor( )) = Ω2
v . (6)
n2
Now, let us consider the quotient manifold defined by the orbits of the lab frame four-velocity, namely,
ℬ =M/Gu, (7)
where Gu represents the translation group associated with the flow of the vector field u. One can equip this manifold with a Riemannian metric
g such that for every null vector field v satisfying (4),
g( 2
Π∗v, Π∗v) = Ω
2 , (8)
n
where Π : M Ð→ℬ is a local trivialization. The pair (ℬ, g) is called a material manifold (Fig. 1) (cf. the definition of a body manifold
in Refs. 26 and 27).
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FIG. 1. Material manifold.
The optical metric can be decomposed in terms of the material manifold Riemannian metric and the observer’s four velocity as
g̃ = g ○ ( ∗ ⊗ ∗) − 1
Π Π 2 u♭ ⊗ u♭, (9)
n
where u♭ ≡ g♭0(u) [cf. Eq. (2)]. In the rest of this article, we will consider the normalization factor Ω = 1. Thus, expression (9) corresponds to
the well-known Gordon optical metric.11
In Sec. III, we will consider the unitary tangent bundle STℬ together with PT∗ℬ, representing the co-tangent bundle of ℬ with the
zero-section 0ℬ removed.28 This allows us to represent the dual notions of light rays and wavefronts on the optical medium (ℬ, g).2,28,29
The former one represents light rays as the projected null geodesic flow of g̃, while the elements of PT∗ℬ are the tangent planes to the
wavefronts.30 Moreover, there is a one-to-one correspondence between the elements of these two manifolds, relating a geodesic flow in the
unitary tangent space to a contact transformation in the space of contact elements.25 Finally, since contact transformations are symmetries of
a contact distribution, its associated contact elements remain invariant when projected to the base manifold ℬ (Fig. 1).
III. MATHEMATICAL STRUCTURES FOR RAYS AND FRONTS
In this section, we explicitly exhibit the dual nature of light rays and wavefronts from the contact geometric perspective. Let us consider
the tangent bundle Tℬ of an m-dimensional material manifold (ℬ, g). Its associated unitary tangent bundle is defined as
STℬ ≡ {v ∈ Tℬ ∣ g(v, v) = 1}, (10)
where g is the bundle metric of g31 (see Exercise 2 of Chapter 3, Sec. 4 in Ref. 34). It follows from the unitary constraint that
dim(STℬ ) = 2m − 1, (11)
w(ith m) −bei=ng the dimension of ℬ. Indeed, the defining property in (10) corresponds to the zero level set of a function on Tℬ, namely,
g v, v 1 0.
Similarly, the unitary co-tangent bundle ST∗ℬ is defined as
ST∗ℬ = {p ∈ T∗ℬ ∣g−1(p, p) = 1}. (12)
Note that the restriction of ST∗ℬ to PT∗ℬ corresponds to a ray-optical structure—as defined by Perlick (see Definition 5.1.1 and
Proposition 5.1.1 in Ref. 13)—that is,
𝒩 = {p ∈ PT∗ℬ ∣g−1(p, p) = 1}. (13)
∈ T(he∗co-)tangent bundle T∗ℬ carries a natural symplectic structure, that is, a non-degenerate, closed two-form ω. Consider a vector field
L T T ℬ such that
ℒLω = ω, (14)
where ℒ denotes the Lie derivative and L is called a Liouville vector field. One can define a one-form λ ∈ T∗(T∗ℬ ) generating the symplectic
structure in terms of the Liouville vector field as
λ ≡ ι̇Lω. (15)
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It follows from Cartan’s identity and definition (15) that
ℒLω = ι̇Ldω + dι̇Lω = −dι̇Lω = −dλ = ω. (16)
In this way, one can define a contact one-form for ST∗ℬ, namely,
η = i∗(λ). (17)
Here, i∗ : T∗(T∗ℬ )Ð→ T𝒩 is the pullback induced by the inclusion map i : 𝒩 Ð→ T∗ℬ. Let 𝒟 = ker(η) be the contact distribution gen-
erated by η. Then, (𝒩 ,𝒟 ) is a contact manifold, usually referred to as the space of contact elements or the contact bundle of ℬ. The restricted
bundle projection
π∣𝒩 : 𝒩 ⊂ T∗ℬ Ð→ℬ (18)
maps the hyp(erplan)es of the contact structure 𝒟 to the contact elements of ℬ. Note that the vector fields tangent to affinely parameterized
geodesics on ℬ, g are sections of STℬ. In this sense, we can establish a relation between STℬ and 𝒩 by demanding that
1
g−1(Π∗ ○ ι∗)(ξ) = (π (v)), (19)
n ∗
where v ∈ STℬ, n is a non-vanishing real number, and ξ is the Reeb vector field defined by
ι̇ξη = 1 and ι̇ξdη = 0. (20)
Thus, the required condition (19) expresses that the geodesics of (ℬ, g) are transverse to 𝒩 and that ξ is the spatial part of a null vector
field in TM [cf. Eq. (8)]. Indeed,
( ) = ( ∣ ∣ ) = 1
g ξ, ξ g ξ x, ξ x 2 for each x ∈ℬ . (21)
n
This, however, does not imply that the light rays should be metric orthogonal to 𝒩 . The orthogonality condition implies the existence of an
almost contact structure
ϕ : T𝒩 Ð→ T𝒩 , (22)
where
ϕ2 = −𝟙 + η⊗ ξ and η ○ ϕ = 0, (23)
such that (𝒩 , η, g∣𝒩 ) is a contact metric manifold. That is, the restricted bundle metric g∣𝒩 = i∗(g) can be written as
g∣𝒩 = η⊗ η + dη ○ (ϕ⊗ 𝟙). (24)
Indeed,
g∣𝒩 (𝒟 , ξ) = η(𝒟 )η(ξ) + dη(ϕ𝒟 , ξ) = 0, (25)
where the last equality follows from the transversality condition (20) and the definition ϕ, Eq. (23), where ϕ𝒟 = 𝒟 . In Sec. IV, we will see that
the presence of boundaries (interfaces between different media) breaks the orthogonality condition.
Now, let us recall the definition of a wavefront centered at the point b ∈ℬ as the surface
Fb(t) = {bi ∈ℬ ∣γ(0) = b, γ(t) = bi}, (26)
where γ is a geodesic on (ℬ, g) (see Ref. 25). Observe that for a point bi ∈ Fb(t), the contact element π(𝒟bi) is tangent to Fb(t). The bundle
projector π projects Legendrian submanifolds of 𝒩 to wavefronts in ℬ.
Consider a geodesic vector flow on STℬ given by γ(t) ∈ℬ and γ̇(t) ∈ STγ(t)ℬ. There is a unique contact element such that
g∣𝒩 (𝒟bi , ξ∣bi) = 0. (27)
The Reeb flow induces a strict contact transformation
ℒ ξλ λ = 0. (28)
Thus, by the duality oÐf →Reeb’s and the geodesic flow (see Theorem 1.5.2 in Ref. 32), there exists a one-parameter family of contact
transformations ϕt : 𝒩 𝒩 such that for every p ∈ 𝒩 where p = g♭(γ̇(0)),
ϕt(p) = g♭(γ̇(t)) (29)
is satisfied. Therefore, the geodesic flow can be evolved in terms of the one-parameter contact transformation ϕt in 𝒩 (see Fig. 2) induced by
the Reeb vector field. In Secs. IV, V, and VI, we will show some explicit examples for optical media represented by different geometries, such
as Euclidean and hyperbolic ones. We will also explore some different dimensions and interfaces between media.
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FIG. 2. Representation of the contact transformation overlapped with the wavefronts and the contact elements, for which bi = γ(ti). If the medium is simply connected (there
are no interfaces), then wavefronts are perpendicular to light rays fulfilling Eq. (27). Nevertheless, it always satisfies that for p ∈ γ, ϕt(p) ∈ γ.
IV. OPTICAL MEDIUM IN EUCLIDEAN R2
Let us consider an optical medium with electric permittivity ε and magnetic permeability μ so that its refractive index is given by n2 = εμ.
The Euclidean optical metric is written as
=∑2g̃ i
= dx ⊗ 1
dxi − 2 dt ⊗ dt. (30)
i 1 n
Restricting our attention to the purely spatial part of the metric by means of a conformal projection into a two-dimensional manifold, the
material manifold metric becomes
g = n2∑2 i
= dx ⊗ dxi. (31)
i 1
The unitary tangent bundle STR2 is expressed in local coordinates {x, y, px, py} where the standard symplectic two-form is written as
ω =∑2= dxi ∧ dpi. (32)
i 1
The unitary condition (10) leads to √
py = n2 − p2
x. (33)
Consider the transformation ϕstb : TR2 Ð→ STR2 defined by
[x = x, y = y, px = − sin θ, py = cos θ] (34)
to change into polar coordinates {x, y, θ}. In this coordinate, the Liouv√ille one-form (15) becomes
λ = − sin θ dx + cos2 θ + n2
stb − 1 dy, (35)
and the Reeb vector field associated with λstb is
1 ∂ √ ∂
ξ 2 2
stb = 2 (− sin θ + cos θ + n − 1 ). (36)
n ∂x ∂y
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FIG. 3. Light rays and wavefronts emitted by a source of light in air (n = 1) passing through a layer of water (n = 1.33) represented by the gray layer. The light rays refract
as predicted by Snell’s law. Wavefronts are deformed as they are slowed down by the interface. After returning to air, wavefronts do not return to its original shape.
A one-parameter family of strict contact transformations induced by Reeb’s flow is given by
t sin θ t cos θ
ϕt = [x = x −
n2 , y = y + 2 , θ = θ]. (37)
n
FIG. 4. L(igh=t ra)ys and wavefronts emitted by a source of light in water (n = 1.33) represented by the gray layer. When light rays refract after passing through the interface
with air n 1 , there is a critical angle θc for which light rays do not come out from the water. Here, only the refracted light rays are shown. Wavefronts deform as they pass
through the interface. After leaving the first medium, wavefronts are not spherical anymore. Some aberrations can be observed as light rays refracted almost parallel to the
surface of the interface do not cross perpendicular to the wavefronts.
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The flow of the∗(Re)eb=vector field, as proved by Geiges,32 results dual to the geodesic flow. Observe that (37) is, indeed, a strict contact
transformation as ϕt λ λ. In terms of (37), the contact distribution transforms into
= 1 √ ∂ ∂ ∂
χ span{ cos2
2 θ + n2 − 1 − sin θ , }. (38)
n ∂x ∂y ∂θ
The bundle projection ∈of the contact distribution π(χ) represents the contact elements of R2. In this case, this corresponds to the first
vector of (38). For a point q R2 and a fixed θ0, there is a unique geodesic passing t(hr)ough q and the direction of its tangent vector is precisely
θ0. Thus, the contact element is the positive normal line generated by the vector π χ .
( T=he)geodesic flow is now written in terms of the one-parameter family of strict contact transformations (37). Observe that for vacuum
ε0μ0 1 , the contact transformation will induce a flow given by a family of straight lines with slope m = −(tan θ −1
0) , recalling that θ0 is the
angle of the contac(t ele≠me)nt positively orthogonal to the geodesic. As the geodesic curve is the trajectory of a light beam, when it passes to a
different medium εμ 1 , the light will be refracted with n =√εμ as expected by Snell’s law. Furthermore, we can reconstruct the wavefronts
from the contact elements without directly solving the wave equation. In Fig. 3, we can observe how the wavefronts are deformed and slowed
down when passing through a different medium. In Fig. 4, the source of light is in a medium with a larger refractive index. Note that when
the light passes through the interface, total internal reflection can be observed in light rays.
V. OPTICAL MEDIUM IN EUCLIDEAN R3
In the same manner as before, let us consider an optical medium in R3 with body metric
3
g = n2∑dxi
= ⊗ dxi. (39)
i 1
Again, we propose the coordinate transformation to the unitary tangent bundle ϕstb : TR3 Ð→ STR3,
[x = x, y = y, z = z, px = sin θ cos φ, py = sin θ sin φ, pz = cos θ], (40)
to get spherical coordinates {x, y, z, θ, φ}. The Liouville one-form transforms to
λstb = cos φ sin θ dx + √
sin φ sin θ dy + cos2 θ + n2 − 1 dz, (41)
for which the Reeb vector field is
1 ∂ ∂ √
ξ 2 2 ∂
stb = 2 (cos φ sin θ + sin φ sin θ + cos θ + n − 1 ), (42)
n ∂x ∂y ∂z
while the contact distribution is expressed as
χ = span{− ∂ ∂ √ ∂ ∂ ∂ ∂
sin θ sin φ + cos φ sin θ , − cos2 θ + n2 − 1 + cos φ sin θ , , }. (43)
∂x ∂y ∂x ∂z ∂θ ∂φ
We find the one-parameter family of contact transformations induced by the Ree√b vector field (42),
= [ = − t cos φ sin θ = + t sin φ sin θ = + t cos2 θ + n2 − 1
ϕt x x 2 , y y 2 , z z 2 , θ = θ, φ = φ]. (44)
n n n
As expected, the projection of the contact distribution to R3 is a set of two-dimensional planes, which are the contact elements of R3.
Each plane is tangent to a wavefront surface sphere.
VI. OPTICAL MEDIUM WITH HYPERBOLIC GEOMETRY ON R2 HALF PLANE
=W{ e=con+sider n>ow}a two-dimensional optical medium endowed with a hyperbolic geometry represented by the upper half plane model
H2 z x iy, y 0 with the usual metric
= 1
g̃
y2 (∑2 i i 1
i= dx ⊗ dx − 2 dt ⊗ dt). (45)
1 n
As before, we will work with the body metric given by
g = (n)2
y ∑2 i i
i= dx ⊗ dx . (46)
1
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The unitary tangent bundle of the hyperbolic space is naturally identified with PSL(2,R), which is(diffe)rent from STRn used in the
previous exa{mples.}Nevert(hele)ss, our construction is sufficiently general to work in either space as PSL 2,R can also be endowed with
coordinates x, y, φ , with x, y being Cartesian coordinates and φ being an angular coordinate.33 In terms of these coordinates, the Liouville
one-form is given by = n
λstb (− cos φ dx + sin φ dy). (47)
y
The associated Reeb vector field is given by
ξstb = 1(− ∂ ∂ ∂
y cos φ + y sin φ − cos φ ), (48)
n ∂x ∂y ∂φ
and the contact distribution is given by
χ = y ∂ ∂ ∂
span{ (sin φ + cos φ ), }. (49)
n ∂x ∂y ∂φ
Once again, we find the one-parameter family of contact transformations in PT∗ℬ induced by Reeb’s flow with the natural identification
with STH2,
= ⎢⎢⎡ = ( 2t t
⎢⎢ x sin φ + y(cos φ −− x n
))e − x sin φ − y cos φ − x 2ye n
ϕt ⎣x 2t − − , y = − 2t ,
sin φ 1 e n sin φ 1 (sin φ − 1)e n − sin φ − 1
= ⎛−(− + ) 2t
⎝ sin φ 1 e n − sin φ − 1⎞⎤
φ arctan t
2e cos φ ⎠⎥⎥⎥⎦⎥. (50)
n
The mapping (50) is, indeed, a strict contact transformation as ϕ∗t (λ) = λ. As expected, the projections of Reeb’s flow that induced (50)
are semicircles of radius = y
r 0 (51)
cos φ0
and center
(x0 cos φ0 − y0 sin φ0 , 0), (52)
cos φ0
FIG. 5. Light rays and wavefronts emitted by a source of light in air (n = 1) refracting through a horizontal layer of water (n = 1.33) in the upper half plane mapped to the
Poincaré disk.
J. Math. Phys. 63, 073504 (2022); doi: 10.1063/5.0087143 63, 073504-8
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Mathematical Physics ARTICLE scitation.org/journal/jmp
FIG. 6. Light rays and wavefronts emitted by a source of light in air (n = 1) refracting through a vertical layer of water (n = 1.33) in the upper half plane mapped to the
Poincaré disk.
which are precisely the geodesic curves in H2.
For interfaces between media with different refractive indices, we solve (48) using numerical methods. The solution observed in Figs. 5
and 6 represents the refraction of the light rays mapped to the Poincaré disk: the first one represents a horizontal layer of a different refractive
index as the interface, while the second represents a vertical interface.
FIG. 7. Light rays and wavefronts emitted by a source of light, which is in water (n = 1.33) refracting through a horizontal layer to air (n = 1) in the upper half plane mapped
to the Poincaré disk. Observe that no total internal reflection is observed. As the light rays are closer to the circular boundary of the disk, some of them intersect the same
wavefront more than once, which means that light rays in different times intersect the same hypersurface of constant time. These types of aberrations are due to the geometry
and can be interpreted as achronal surfaces.
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Finally, we use the same numerical methods to obtain the waves and fronts of a light source in the medium with a larger refractive index.
The result, shown in Fig. 7, represents no total internal reflection.
In the gravitational context, the anti-deSitter model has been closely related to the hyperbolic geometry. It is known that AdS admits
closed timelike curves and achronal surfaces can be observed. In Fig. 7, we can observe some of these geometric properties in light rays, which
are closer to the infinity circular boundary of the disk where one light ray can intersect the same wavefront more than once.
VII. CLOSING REMARKS
In this work, we provide a direct application of metric contact geometry to model light propagation in materials whose refractive prop-
erties are modeled by using metric tensors. Albeit the duality between principles of Fermat and Huygens has been extensively explored, the
present study is, to the best of our knowledge, the first to use the richer metric structure of contact geometry. Moreover, this allowed us to
explore light propagation through interfaces for both rays and fronts. These numerical explorations showed that the “well-stitched” geometric
structure, responsible for the orthogonality between rays and fronts, is broken when one considers interfaces or boundaries. The formal aspects
of including boundaries in metric contact manifolds will be studied elsewhere.
The spaces STℬ and 𝒩 are the mathematical structures required to express the propagation of light through the two key principles of
Fermat and Huygens. On the one hand, STℬ is the spatial projection of the null cone where light rays correspond to null curves on (M, g0, g̃),
allowing for a spacetime formulation of Fermat’s principle. On the other hand, 𝒩 serves us to define the wavefronts tangent to the contact
elements on ℬ. The evolution of light rays in STℬ is given by the flow of the Reeb vector field, while in 𝒩 , it is given by its associated
c(ontac)t transformation. In this sense, the entire nature of light propagation in non-dispersive media is encoded in the contact bundle of
ℬ, g together with its symmetries.
Decomposing the optical metric in terms of the observer’s velocity and the Riemannian metric of the material manifold, together with
the contact structure associated with the ray-optical structure 𝒩 , allows one to relate it to the unitary tangent bundle of ℬ, demanding that
the spatial projection of the Reeb vector field be proportional to the projection of a null vector field of the background spacetime. This relation
implies that Reeb’s flow represents, indeed, the light trajectory on the optical medium ℬ.
The Reeb flow allows one to reconstruct the trajectories and wavefronts of light while propagating through an optical medium. Using
this result, we explored two- and three-dimensional Euclidean optical media and a two-dimensional hyperbolic medium. In the case of a two-
dimensional Euclidean medium, it was possible to recreate Snell’s law of refraction together with the total internal reflection phenomenon. In
the case of the hyperbolic medium, we obtained the refraction patterns from vertical and horizontal interfaces mapped to the Poincaré disk.
No total internal reflection was observed when the light source was placed in a medium with a larger refractive index. Nevertheless, we saw
that light rays can intersect the same wavefront more than once. This is a surprising effect that deserves further exploration.
ACKNOWLEDGMENTS
D.G.-P. thanks Dr. Alessandro Bravetti for enlightened discussions and observations. D.G.-P. was funded by a CONACYT Scholarship
with CVU 425313.
AUTHOR DECLARATIONS
Conflict of Interest
The authors have no conflicts to disclose.
Author Contributions
D. García-Peláez: Conceptualization (lead); Investigation (lead); Writing – original draft (equal); Writing – review & editing (equal). C.
S. López-Monsalvo: Conceptualization (equal); Investigation (equal); Writing – original draft (equal); Writing – review & editing (equal).
A. Rubio Ponce: Writing – original draft (equal); Writing – review & editing (equal).
DATA AVAILABILITY
Data sharing is not applicable to this article as no new data were created or analyzed in this study.
REFERENCES
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J. Math. Phys. 63, 073504 (2022); doi: 10.1063/5.0087143 63, 073504-10
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