Sobre los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios

Abstract

Este trabajo pretende abordar los fundamentos geométricos de la propagación de la luz en medios para entender la óptica de transformaciones y poder generar una base sobre la cual, de manera canónica, se puedan diseñar nuevos materiales. Para tal efecto la tesis se encuentra estructurada de la siguiente manera. En el capítulo 3, exponemos las bases del electromagnetismo vectorial y su contraparte en formas diferenciales, haciendo explícita la conversión de un lenguaje a otro. Planteamos las relaciones constitutivas de forma completamente geométrica, y desarrollamos la manera de encontrar las componentes de los campos electromagnéticos inducidos independientes del observador y del marco en referencia. Esta metodología la extendemos a medios en movimiento y proponemos medios estáticos equivalentes. Trabajamos con conductores y escribimos la versión geométrica de la ley de Ohm. Definimos una 3-forma de densidad de flujo de energía-momento con la cual damos una versión geométrica del teorema de Poynting. En el capítulo 4, mostramos una manera de encontrar los diferentes tensores de permitividad, permeabilidad y las matrices magnetoeléctricas en términos de un tensor constitutivo. Exponemos los fundamentos de la métrica óptica y la usamos para realizar diferentes ejemplos de medios equivalentes a geometrías cosmológicas conocidas. En el capítulo 5 damos las bases matemáticas de la geometría de contacto partiendo desde la perspectiva de las ecuaciones diferenciales. Con este lenguaje geométrico escribimos la evolución de la luz tanto en términos de rayos como en frentes de ondas. Finalmente, construimos el principio de Huygens usando los diferentes espacios matemáticos previamente definidos y demostramos con geometría, que la evolución de un frente de onda es la envolvente de los frentes de ondas secundarios producidos. En el capítulo 6, ahondamos en las estructuras de los espacios matemáticos que subyacen en las diferentes formas de evolucionar la luz en un medio. El haz tangente unitario para un rayo de luz y el espacio de elementos de contacto para la visión ondulatoria. En el capítulo se muestra de manera explícita la equivalencia geométrica de los principios de Fermat y de Huygens y se encuentra que tanto el flujo geodésico como los frentes de onda, pueden ser reconstruidos a partir de encontrar la familia uniparamétrica de transformación de contacto, asociadas al flujo del campo vectorial de Reeb de la forma de contacto de Liouville. Este formalismo, permite recrear tanto las trayectorias de los rayos de luz, sin la necesidad de resolver la ecuación geodésica para la variedad (ecuación diferencial de 2º grado) y permite a su vez reconstruir los frentes de onda, sin resolver de manera directa la ecuación de onda (ecuación diferencial de 2º grado). Todo esto se logra encontrando un flujo vectorial que es una ecuación diferencial de 1º orden. Realizamos una serie de ejemplos, para medios con geometría trivial y no trivial y diferentes dimensiones. En el capítulo 7 definimos las formas diferenciales de Beltrami en analogía a los campos vectoriales de Beltrami. Partimos de estos campos para definir la helicidad en el contexto de las formas diferenciales, así como otros invariantes topológicos asociados. Usamos estos conceptos para definir la geometría de un superconductor en 2 dimensiones espaciales y deducimos las ecuaciones de London en su forma geométrica. Finalmente, en el capítulo 8 damos las conclusiones del trabajo, así como algunos otros trabajos que se encuentran en elaboración.